Intervallo massimale per problemi di Cauchy

[Frostman]

Buon pomeriggio! Avrei bisogno di una mano con questo esercizio:

Determinare l’intervallo massimale per le soluzioni dei seguenti problemi di Cauchy:

${(x'=1+x^2), (x(0)=0):}\ \ \ \ \ $ ${(x'=x^2), (x(0)=1):}\ \ \ \ \ $ ${(x'=e^x), (x(0)=0):}$

Risolvo il problema di Cauchy e ottengo $x(t)=tan(t)$
Pertanto l'intervallo massimale di questo problema è $(-pi, pi)$ dato che solo in questo intervallo $x(0)=0$
È corretto procedere in questo modo? C'è magari un procedimento più formale/matematico per mostrare ciò?

[gugo82]

Va benissimo così.
La situazione è semplice quando sei in regime di unicità ed hai a disposizione (per averla calcolata, ad esempio) l’espressione esplicita della soluzione: l’intervallo massimale è il più grande intervallo che contiene il punto iniziale $t_0$ in cui è definita la soluzione.

Quando una delle due cose manca, devi fare più attenzione.