Intervallo massimale e esistenza

[angelad97]

Salve a tutti! Ho questa equazione differenziale
${y'=e^xcos^2y ;y(2)=pi/4}$
Devo verificare che ci sia una sola soluzione,e individuare l'intervallo massimale.
Innanzitutto so che è a variabili separabili quindi ho $a(x)=e^x ; b(y)=cos^2y$ so che la prima è continua in R e la seconda e continua e derivabile in R quindi il teorema di esistenza e unicità è soddisfatto poi pongo b(y)=0 quindi ho $y=pi/2$ che non è soluzione e quindi dato che $pi/4$ è minore di $pi/2$ il dominio di f rispetto a y è $(-00;pi/2)$ svolgendo poi il problema di Cauchy trovo la soluzione $tgy=e^x+1-e^2$
In pratica ora per calcolare l'intervallo massimale devo porre $e^x+1-e^2

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Risposte

Frigorifero2

13 lug 2017, 13:39

Perché $y=\frac{\pi}{2}$ non è soluzione?

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otta96

13 lug 2017, 18:05

"Frigorifero":Perché $y=\frac{\pi}{2}$ non è soluzione?

Perché non soddisfa le condizioni iniziali.

"angelad97":Salve a tutti! Ho questa equazione differenziale
$ {y'=e^xcos^2y ;y(2)=pi/4} $
Devo verificare che ci sia una sola soluzione,e individuare l'intervallo massimale.
Innanzitutto so che è a variabili separabili quindi ho $ a(x)=e^x ; b(y)=cos^2y $ so che la prima è continua in R e la seconda e continua e derivabile in R quindi il teorema di esistenza e unicità è soddisfatto poi pongo b(y)=0 quindi ho $ y=pi/2 $ che non è soluzione e quindi dato che $ pi/4 $ è minore di $ pi/2 $ il dominio di f rispetto a y è $ (-00;pi/2) $ svolgendo poi il problema di Cauchy trovo la soluzione $ tgy=e^x+1-e^2 $
In pratica ora per calcolare l'intervallo massimale devo porre $ e^x+1-e^2? Oppure $ arctg(e^x+1-e^2)?

Tu ti sei ricavato l'espressione della soluzione, quindi a questo punto per trovare l'intervallo massimale, non devi far altro che capire qual è l'intervallo più grande del dominio della tua funzione che è compatibile con le condizioni iniziali ovvero che contiene 2.

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Frigorifero2

13 lug 2017, 21:44

"otta96":Perché non soddisfa le condizioni iniziali.

Potresti gentilmente spiegare dettagliatamente il perché? Grazie.

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otta96

13 lug 2017, 21:54

La funzione $y(x)=pi/2 AAx\inRR$ è tale che $y(2)=pi/2!=pi/4$.

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angelad97

14 lug 2017, 09:19

Non saprei proprio come procedere!

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Frigorifero2

14 lug 2017, 17:30

"angelad97":Salve a tutti! Ho questa equazione differenziale
${y'=e^xcos^2y ;y(2)=pi/4}$
Devo verificare che ci sia una sola soluzione,e individuare l'intervallo massimale.
Innanzitutto so che è a variabili separabili quindi ho $a(x)=e^x ; b(y)=cos^2y$ so che la prima è continua in R e la seconda e continua e derivabile in R quindi il teorema di esistenza e unicità è soddisfatto poi pongo b(y)=0 quindi ho $y=pi/2$ che non è soluzione e quindi dato che $pi/4$ è minore di $pi/2$ il dominio di f rispetto a y è $(-00;pi/2)$ svolgendo poi il problema di Cauchy trovo la soluzione $tgy=e^x+1-e^2$
In pratica ora per calcolare l'intervallo massimale devo porre $e^x+1-e^2

Avendo trovato come soluzione la funzione
$$y=\arctan{(e^x +1 -e^2)}$$
devi studiare il dominio di questa funzione e stabilire l'intervallo più grande appartenente al dominio che contiene il valore $2$ (perché nel problema di Cauchy ti viene fornito il valore di $y(\underline{2})$). In questo caso, l'arcotangente è definita in tutto $R$, così come la funzione esponenziale $e^x$, quindi l'intervallo massimale è $R$.

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angelad97

14 lug 2017, 19:22

L'arcotangente non è definito tra $(-pi/2;pi/2)$? Perché mi dici che è definito in tutto R?

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otta96

14 lug 2017, 19:34

No, quella è l'immagine, ma il dominio è tutto $RR$.

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angelad97

14 lug 2017, 19:43

ah.giusto...

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[Frigorifero2]

Perché $y=\frac{\pi}{2}$ non è soluzione?

[otta96]

"Frigorifero":Perché $y=\frac{\pi}{2}$ non è soluzione?

Perché non soddisfa le condizioni iniziali.

"angelad97":Salve a tutti! Ho questa equazione differenziale
$ {y'=e^xcos^2y ;y(2)=pi/4} $
Devo verificare che ci sia una sola soluzione,e individuare l'intervallo massimale.
Innanzitutto so che è a variabili separabili quindi ho $ a(x)=e^x ; b(y)=cos^2y $ so che la prima è continua in R e la seconda e continua e derivabile in R quindi il teorema di esistenza e unicità è soddisfatto poi pongo b(y)=0 quindi ho $ y=pi/2 $ che non è soluzione e quindi dato che $ pi/4 $ è minore di $ pi/2 $ il dominio di f rispetto a y è $ (-00;pi/2) $ svolgendo poi il problema di Cauchy trovo la soluzione $ tgy=e^x+1-e^2 $
In pratica ora per calcolare l'intervallo massimale devo porre $ e^x+1-e^2? Oppure $ arctg(e^x+1-e^2)?

Tu ti sei ricavato l'espressione della soluzione, quindi a questo punto per trovare l'intervallo massimale, non devi far altro che capire qual è l'intervallo più grande del dominio della tua funzione che è compatibile con le condizioni iniziali ovvero che contiene 2.

[Frigorifero2]

"otta96":Perché non soddisfa le condizioni iniziali.

Potresti gentilmente spiegare dettagliatamente il perché? Grazie.

[otta96]

La funzione $y(x)=pi/2 AAx\inRR$ è tale che $y(2)=pi/2!=pi/4$.

[angelad97]

Non saprei proprio come procedere!

[Frigorifero2]

"angelad97":Salve a tutti! Ho questa equazione differenziale
${y'=e^xcos^2y ;y(2)=pi/4}$
Devo verificare che ci sia una sola soluzione,e individuare l'intervallo massimale.
Innanzitutto so che è a variabili separabili quindi ho $a(x)=e^x ; b(y)=cos^2y$ so che la prima è continua in R e la seconda e continua e derivabile in R quindi il teorema di esistenza e unicità è soddisfatto poi pongo b(y)=0 quindi ho $y=pi/2$ che non è soluzione e quindi dato che $pi/4$ è minore di $pi/2$ il dominio di f rispetto a y è $(-00;pi/2)$ svolgendo poi il problema di Cauchy trovo la soluzione $tgy=e^x+1-e^2$
In pratica ora per calcolare l'intervallo massimale devo porre $e^x+1-e^2

Avendo trovato come soluzione la funzione
$$y=\arctan{(e^x +1 -e^2)}$$
devi studiare il dominio di questa funzione e stabilire l'intervallo più grande appartenente al dominio che contiene il valore $2$ (perché nel problema di Cauchy ti viene fornito il valore di $y(\underline{2})$). In questo caso, l'arcotangente è definita in tutto $R$, così come la funzione esponenziale $e^x$, quindi l'intervallo massimale è $R$.

[angelad97]

L'arcotangente non è definito tra $(-pi/2;pi/2)$? Perché mi dici che è definito in tutto R?

[otta96]

No, quella è l'immagine, ma il dominio è tutto $RR$.

[angelad97]

ah.giusto...