Intervallo di variabilità delle derivate direzionali
salve vorrei capire come si calcola l'intervallo di variabilità delle derivate direzionali della funzione
$f(x,y) = x( x - y^2) + 4xy + 3$ nel punto $(1,1)$
ho calcolato le derivate parziali sia rispetto ad x che rispetto ad y della funzione data. Ho fissato la direzione $t = ( u, v)$ sapendo che una delle condizioni è che $ u^2 + v^2 = 1$ ...poi non ho saputo continuare
$f(x,y) = x( x - y^2) + 4xy + 3$ nel punto $(1,1)$
ho calcolato le derivate parziali sia rispetto ad x che rispetto ad y della funzione data. Ho fissato la direzione $t = ( u, v)$ sapendo che una delle condizioni è che $ u^2 + v^2 = 1$ ...poi non ho saputo continuare
Risposte
Ciao e benvenuto sul forum.
Puoi dare una definizione di "intervallo di variabilità"? Mi è nuova questa cosa ma forse la conosco con un altro nome.
Puoi dare una definizione di "intervallo di variabilità"? Mi è nuova questa cosa ma forse la conosco con un altro nome.
ciao e grazie. A dirti la verità non ho saputo interpretarlo nemmeno io. Una mia amica è andata dal professore per chiedere spiegazione e lui ha detto :" tieni conto che il valore assoluto della derivata direzionale è minore e uguale al gradiente". Inutile dire che non è servito a nulla. L'esercizio fornisce la funzione f : il primo punto chiede di calcolare i punti critici di f, il secondo invece l'intervallo di variabilità delle derivate direzionali di f in (1,1). Purtroppo non so essere di aiuto dato che è la prima volta che mi capita di risolvere un quesito del genere.
Magari ti sta chiedendo di dire in quali direzioni puoi derivare, quindi vuole un intervallo per l'angolo \(\theta\) che individua il versore spiccato dal punto.
Scrivo qui la formula che permetteva di risolvere l'esercizio per poter essere d'aiuto (chissà) a coloro che dovessero trovarsi in futuro con lo stesso dubbio e poi ovviamente a te, Raptorista , che ringrazio per avermi dato delle indicazioni :
$|(delf)/(del\lambda)| <= gradf$
$|(delf)/(del\lambda)| <= gradf$
Provo ad interpretare. Esiste un teorema che informalmente ti dice che il gradiente punta nella direzione di massima crescita della funzione.
Che cosa vuol dire questo? Supponi di trovarti in un punto $P$ - regolare - di una superficie $f(x,y,z)=0$. Da lì ti guardi attorno: la direzione in cui la tua superficie "sale" di più è esattamente quella data da $\nabla f(P)$. Riesco a rendere l'idea?
Matematicamente, sotto c'è il teorema che lega derivate direzionali e gradiente (per funzioni differenziabili) e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Infatti, sai che se una funzione \( f \colon \Omega \to \mathbb R\) è differenziabile in $p \in \Omega$ e $v$ è una direzione fissata (un versore!) allora la derivata direzionale lungo $v$ di $f$ in $p$ è data dalla formula
\[
\partial_v f(p) = \langle \nabla f(p), v \rangle
\]
Applicando C-S ricavi dunque che
\[
\vert \partial_v f(p) \vert \le \Vert \nabla f(p)\Vert
\]
(ti prego di notare la differenza sostanziale rispetto alla tua ultima formula; c'è una norma del gradiente a secondo membro).
Ora (con un po' di fantasia) ipotizzo che l'intervallo di variabilità cui fa riferimento l'esercizio è esattamente il range in cui le derivate direzionali possono assumere valori. Formalmente, è l'immagine dell'applicazione \( \mathbb S^{2} \ni v \mapsto \partial_v f(P) \).
Riusciresti a terminare l'esercizio adesso? E' un po' più chiaro?
Che cosa vuol dire questo? Supponi di trovarti in un punto $P$ - regolare - di una superficie $f(x,y,z)=0$. Da lì ti guardi attorno: la direzione in cui la tua superficie "sale" di più è esattamente quella data da $\nabla f(P)$. Riesco a rendere l'idea?
Matematicamente, sotto c'è il teorema che lega derivate direzionali e gradiente (per funzioni differenziabili) e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Infatti, sai che se una funzione \( f \colon \Omega \to \mathbb R\) è differenziabile in $p \in \Omega$ e $v$ è una direzione fissata (un versore!) allora la derivata direzionale lungo $v$ di $f$ in $p$ è data dalla formula
\[
\partial_v f(p) = \langle \nabla f(p), v \rangle
\]
Applicando C-S ricavi dunque che
\[
\vert \partial_v f(p) \vert \le \Vert \nabla f(p)\Vert
\]
(ti prego di notare la differenza sostanziale rispetto alla tua ultima formula; c'è una norma del gradiente a secondo membro).
Ora (con un po' di fantasia) ipotizzo che l'intervallo di variabilità cui fa riferimento l'esercizio è esattamente il range in cui le derivate direzionali possono assumere valori. Formalmente, è l'immagine dell'applicazione \( \mathbb S^{2} \ni v \mapsto \partial_v f(P) \).
Riusciresti a terminare l'esercizio adesso? E' un po' più chiaro?
A quanto ho capito, ti si stava chiedendo (in maniera veramente brutta) di determinare un intervallo \([a,b]\) tale che:
\[
\forall \nu,\ \frac{\partial f}{\partial \nu} (1,1)\in [a,b]\; ,
\]
cioé:
\[
\forall \nu,\ a\leq \frac{\partial f}{\partial \nu} (1,1)\leq b\; .
\]
Dato che è noto (cfr. il post di Paolo90) che \(|\frac{\partial f}{\partial \nu}|\leq \|\nabla f\|\), è chiaro che puoi prendere certamente:
\[
a=-\|\nabla f(1,1)\| \qquad \text{e}\qquad b=\|\nabla f(1,1)\|\; .
\]
\[
\forall \nu,\ \frac{\partial f}{\partial \nu} (1,1)\in [a,b]\; ,
\]
cioé:
\[
\forall \nu,\ a\leq \frac{\partial f}{\partial \nu} (1,1)\leq b\; .
\]
Dato che è noto (cfr. il post di Paolo90) che \(|\frac{\partial f}{\partial \nu}|\leq \|\nabla f\|\), è chiaro che puoi prendere certamente:
\[
a=-\|\nabla f(1,1)\| \qquad \text{e}\qquad b=\|\nabla f(1,1)\|\; .
\]
ho capito...grazie mille. Adesso mi è tutto più chiaro
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