Intervallo di convergenza di serie di potenze

[Str11]

data la serie $sum_(n=0)^(+oo)(x^(n^2)) /(n!)$, perché non posso procedere ponendo $y=x^2$ e usando, per esempio, il criterio del rapporto sulla nuova serie di potenze che ottengo? in questo modo l'intervallo di convergenza risulta tutto $RR$.

[marco2132k]

Che domanda bastarda. L'elevamento a potenza non è associativo: \( 2^{{\color{red}(}2^3{\color{red})}} \) fa \( 256 \), mentre \( {(2^2)}^3 \) fa \( 64 \). Quell'\( x^{n^2} \) è da interpretarsi (per una convezione che ho scoperto adesso) come \( x^{(n^2)} \), non come \( {(x^n)}^2 \).

In generale un'espressione come
\[
a^{b^{c^{d^{e^{\cdots}}}}}
\] va intesa come
\[
a^{(b^{(c^{d^{(e^{(\dots)})}})})}\text{.}
\]

[Str11]

grazie mille, non lo sapevo

[pilloeffe]

Ciao _ester_,

Per rispondere alla domanda di cui al titolo dell'OP, mi risulta che la serie proposta converga nell'intervallo $ - 1 \le x \le 1 $
In particolare per $x = 1 $ la serie proposta converge ad $e$

[Str11]

Grazie pilloeffe, è che pensavo che il problema del metodo proposto da me fosse di altro genere ma non lo riuscivo a vedere, non avevo pensato alle proprietà delle potenze