Intervallo chiuso e insieme limitato
Buonasera trascrivo un esercizio da un tema d'esame di Analisi 2:
Sia $f \in C^0(R^2,R) $ e $ C={ (x,y) \in R^2: x^{10}+y^{10} \leq \pi}$
Indicare se le affermazioni sono vere o false:
1) $f(C)$ è un intervallo chiuso
2) $f(C)$ è un insieme limitato
Nelle soluzioni, entrambe sono vere.
Grazie alla continuità di $f$, le proprietà topologiche di $C$ sono valide anche in $f(C)$, quindi è sufficiente studiare solo l'insieme $C$.
Probabilmente mi sto facendo spaventare da quell'esponente $10$ che mi insinua dubbi, ma ragionerei pensando che $\pi$ rappresenta un estremo superiore (e massimo) dell'insieme per cui è limitato (almeno superiormente) e chiuso (perchè parliamo di una relazione di $\leq$). Non ci sono "buchi", la definizione è una somma e unica, quindi è un insieme connesso (ovvero non si trovano insiemi separati la cui unione risulta in $C$ stesso).
Poi però mi verrebbe da pensare, ma quindi x e y possono essere piccole quanto voglio, fino a raggiungere anche $-\infty$ e sempre rispettare la disequazione? Quindi $C$ non è limitato inferiormente?
A questo si potrebbe rispondere con: la somma di due numeri elevati ad un esponente pari è sempre positiva o nulla, ma $C$ raccoglie tutti i valori di $R^2$ che rispettano la disequazione, non gli scalari che risultano da questa somma, e quindi non varrebbe come vincolo di limitatezza.
Sapreste correggere/finire il mio ragionamento?
Sia $f \in C^0(R^2,R) $ e $ C={ (x,y) \in R^2: x^{10}+y^{10} \leq \pi}$
Indicare se le affermazioni sono vere o false:
1) $f(C)$ è un intervallo chiuso
2) $f(C)$ è un insieme limitato
Nelle soluzioni, entrambe sono vere.
Grazie alla continuità di $f$, le proprietà topologiche di $C$ sono valide anche in $f(C)$, quindi è sufficiente studiare solo l'insieme $C$.
Probabilmente mi sto facendo spaventare da quell'esponente $10$ che mi insinua dubbi, ma ragionerei pensando che $\pi$ rappresenta un estremo superiore (e massimo) dell'insieme per cui è limitato (almeno superiormente) e chiuso (perchè parliamo di una relazione di $\leq$). Non ci sono "buchi", la definizione è una somma e unica, quindi è un insieme connesso (ovvero non si trovano insiemi separati la cui unione risulta in $C$ stesso).
Poi però mi verrebbe da pensare, ma quindi x e y possono essere piccole quanto voglio, fino a raggiungere anche $-\infty$ e sempre rispettare la disequazione? Quindi $C$ non è limitato inferiormente?
A questo si potrebbe rispondere con: la somma di due numeri elevati ad un esponente pari è sempre positiva o nulla, ma $C$ raccoglie tutti i valori di $R^2$ che rispettano la disequazione, non gli scalari che risultano da questa somma, e quindi non varrebbe come vincolo di limitatezza.
Sapreste correggere/finire il mio ragionamento?
Risposte
"neperoz":
ma quindi x e y possono essere piccole quanto voglio,
Si, ma in valore assoluto. Se inserisci dei numeri negativi "elevati" (esempio -2) vedrai che la disuguaglianza non è soddisfatta.
In generale risultano la seguenti disuguaglianze
$x^10 le x^10 + y^10 le pi$ da cui $- root(10) pi le x le root (10) pi$
$y^10 le x^10 + y^10 le pi$ da cui $- root(10) pi le y le root (10) pi$
che dimostrano il fatto che l'insieme dei punti in questione sia limitato.
Dovresti riguardare la dimostrazione che è connesso, prova a dimostrare che è stellato in un certo punto. Mentre sulla limitatezza ci sei andato vicino ma non hai concluso: da quello che hai detto puoi dedurre che $|x|,|y|<2AA(x,y)\inC$.
"otta96":
Dovresti riguardare la dimostrazione che è connesso, prova a dimostrare che è stellato in un certo punto.
Il mio professore ci ha lasciato una definizione di connesso come negazione di sconnesso, introducendo solo molto dopo la definizione di insieme stellato, per cui non ci ho nemmeno pensato.
Quindi io potrei prendere un generico segmento ${\theta z_1+(1-\theta) z_2 : z_i \in C }$ ed esprimerlo così
$\theta (x_1^{10}+y_1^{10})+(1-\theta) (x_2^{10}+y_2^{10}) $ e maggiorarlo con
$<= \theta \pi + (1-\theta) \pi$
$ <= \theta \pi -\theta \pi +\pi= \pi$
Per cui ogni generico punto di un generico segmento presi due $z_i \in C$ è contenuto in $C \quad \Rightarrow$ l'insieme non solo è stellato ma anche convesso.
E' corretto?
E in caso lo fosse, quel $<= \pi$ mi fa intuire che l'insieme sia chiuso perchè se fosse una disuguaglianza stretta allora potrei lasciar fuori alcuni punti "al bordo". Giusto?
"ingres":
Si, ma in valore assoluto. Se inserisci dei numeri negativi "elevati" (esempio -2) vedrai che la disuguaglianza non è soddisfatta [...]
Okay adesso è chiaro! Grazie.
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