Intervalli ove f(x) è crescente: estremi inclusi o esclusi?

[VitOne1]

Ragazzi mi servirebbe una mano.

Grazie ad alcune speigazioni che già mi sono state fornite sul forum e che ho trovato su alcune teorie sto piano piano imparando a fare gli studi di funzione. Attualmente però mi blocco nella parte finale.

Data una funzione quello che faccio è il seguente procedimento (devo calcolare gli interevalli in cui la funzione è crescente):

1) Se ci sono moduli (nelle mie funzini quasi sempre) divido la funzione in due o più;
2) Calcolo la derivata prima delle due funzioni;
3) Eseguo lo studio del segno sulla derivata, ponendo tutte le funzioni che ho maggiori o uguali a zero facendo lo studio del segno dove è necessario (per esempio se ho una disequazione con frazione) e poi metto a sistema con la condizione che mi era stata data dal modulo, prendo solo le soluzioni comuni;
4) A questo punto sono in grado di sapere dove la funzione è crescente e dove è decrescente (il primo caso è quello in cui ci sono soluzioni del punto 3), il secondo se non ce ne sono).

Mi rimangono a questo punto degli interevalli, ma non ho chiaro come faccio a dire se gli estremi che ho sono inclusi o esclusi. Che procedimento devo seguire? Mi potete aiutare per favore?

[maurer]

Tieni presente che se la derivata di una funzione cambia segno in un punto $x_0$ e tale punto appartiene al dominio della funzione, allora quel punto è un estremo della funzione, ossia un punto di massimo o di minimo assoluto... In altre parole io gli intervalli di crescenza e decrescenza li scriverei sempre escludendo gli estremi...

[VitOne1]

C'è più di un caso in cui la funzione che ho da esaminare risulta essere cerescente in un intervallo che ha uno dei due estremi incluso. Ti metto tra poco un esempio con lo svolgimento.

[VitOne1]

Prendo ad esempio questa funzione:


Il testo dell'esercizio è: determinare gli interevalli in cui la funzione è crescente.

La soluzione corretta dell'esercizio è:


La prova è a crocette e ovviamente tra le soluzione c'era quella con gli intervalli esclusi, che io ho scelto. Non a caso, ma perché risolvendo l'esercizio come ho descritto nel passo 4) del mio procedimento scritto sopra gli intervalli mi risultavano avere gli estremi ESCLUSI (non inclusi come avevo scritto, chiedo scusa).

Dove sbaglio? Devo fare qualche operazione con gli estremi che ottengo per vedere se sono inclusi o esclusi?

[maurer]

Quello che dici mi sembra che possa essere vero solo se viene preso in considerazione un sottoinsieme dell'intervallo di crescenza... Ad esempio posso dire che $y=x^2$ cresce in $[1;4]$... Ma se l'esercizio richiede di trovare l'intervallo di crescenza allora dovrò dire $(0;+\infty)$...
Posta il tuo esempio... anche senza svolgimento va bene...

[VitOne1]

Va bene l'esempio qui sopra?

[maurer]

Sì, credo di aver capito la tua problematica... La prova era una prova scolastica, vero?
Io sinceramente non so aiutarti... Ti posso solamente dire che la questione, a mio avviso, è controversa e discutibile... Se affermi che $f(x)=|x/(log3x)|$ è crescente in $[e/3;+\infty)$, analogamente dovrai ammettere che la stessa funzione decresce in $(1/3;e/3]$, quindi in $x=e/3$ la funzione decresce e cresce allo stesso tempo... La cosa non è illogica, perché chiaramente $x=e/3$ è un punto di minimo per $f(x)$...
E' il vostro insegnante che ha deciso di utilizzare questa convenzione (di inserire gli estremi di una funzione all'interno degli intervalli di crescenza o decrescenza)? Perché io sui miei libri non ho mai trovato niente del genere...

[size=75]oops... avevo fatto un pasticcio con le formule... adesso ho messo a posto...[/size]

[VitOne1]

Io purtroppo vengo dal liceo classico e devo fare Analisi 1 per ingegneria meccanica, purtroppo non so cosa dirti, io mi ritrovo con questo esercizio, non so che convenzioni abbia adottato il professore. Ti metto lo svolgimento dell'esercizio così come è fatto dal professore:

[maurer]

Anch'io ho fatto il liceo classico solo che ho sviluppato una strana passione per la matematica!
comunque, guarda le soluzioni date sotto forma di sistema, in fondo. Lì si afferma che $f'(x)>0$ se $00$ anche quando $x>e/3$... La scrittura $[e/3,+infty)$, invece equivale a $x>=e/3$...
Non è proprio possibile che si tratti di un errore? Ci sono altri "casi" in cui un intervallo che dovrebbe essere aperto è invece chiuso?

[VitOne1]

Può essere che si tratti di un errore, purtroppo però non è il solo esempio. L'esercizio l'ho risolto con molti più passaggi ma alla fine mi veniva giusto, il problema delle maledette crocette è che non posso far vedere i vari passaggi ma devo scegliere la soluzione, per cui è indispensabile fare tutto perfetto.

La matematica non mi dispiace ma credo di non essere proprio portato, certo se non mi piaceva non mi mettevo a studiare ingegneria .

[maurer]

Se ce l'hai sotto mano magari prova a postare un altro esempio... L'unica cosa che posso ancora osservare è che proprio non poteva scrivere $[0,1/3]$, visto che in $x=0$ e $x=1/3$ la funzione non è definita! Magari con quest'artificio degli intervalli chiusi o aperti vuole testare la capacità di calcolare il dominio della funzione...

[Fioravante Patrone1]

"maurer":Se affermi che $f(x)=|x/(log3x)|$ è crescente in $[e/3;+\infty)$, analogamente dovrai ammettere che la stessa funzione decresce in $(1/3;e/3]$, quindi in $x=e/3$ la funzione decresce e cresce allo stesso tempo... La cosa non è illogica, perché chiaramente $x=e/3$ è un punto di minimo per $f(x)$...
E' il vostro insegnante che ha deciso di utilizzare questa convenzione (di inserire gli estremi di una funzione all'interno degli intervalli di crescenza o decrescenza)? Perché io sui miei libri non ho mai trovato niente del genere...

oh, mammamia!

Facciamo un esempio semplice.
Prendiamo $y = x^2$.
Questa funzione è strettamente decrescente su $]-\oo,0]$ e strettamente crescente su $[0,+\oo[$.
Cosa che affermo senza alcun bisogno di teoremi particolari, ma semplicemente usando la definizione, che vi inviterei a scrivere.

Volendo fare lo "scolastico", posso osservare che su $[0,+\oo[$ succede questo:
- la derivata prima è strettamente maggiore di zero su $]0,+\oo[$ (qui l'intervallo è APERTO, non è un errore)
- la funzione è continua su $[0,+\oo[$
Da questo si conclude (noto corollario del teorema di Lagrange, che viene usato in questi frangenti) che la funzione è strettamente crescente su $[0,+\oo[$

Queste ultime sono le considerazioni standard, scolastiche appunto, che si usano in questi frangenti. E che mi permettono di dedurre, ad esempio, anche che la funzione data è strettamente decrescente su $]-\oo,0]$.

[VitOne1]

Grazie per il tuo intervento!

Vediamo se ho capito .

Io conosco questo teorema, da cui ricavo se la funzione è crescente o decrescente in un intervallo: sia f derivabile in un intervallo [a,b]. Se f' è maggiore uguale a zero (risp minore uguale) allora f è non decrescente (non crescente). Se f' è strettamente maggiore di zero allora f è strettamente crescente.

Una funzione si dice non decrscente quando: x minore uguale y implica f(x) minore uguale f(y) (crescente quando è strettamente minore), da questa definzione cosa capisco? Che in un punto la funzione può essere crescente e decrescente insieme senza problemi, esatto? Come nel caso del tuo esempio, giusto?

Nell'esempio tuo se la derivata prima è strettamente maggiore di zero e la funzione è continua allora, per un a me ignoto corollario del TVM la funzione è strettamente crescente anche in 0, esatto?

Dato che come è evidente ho grossi problemi vorrei, se possibile, delle dispense o un testo da acquistare dove poter chiarmi le idee. Ho delle dispense ma francamente non riesco a trovare quello che hai scritto nel tuo intervento.

Ho questi dubbi:

1) Conosco il TVM ma non non ho presente il corollario, me lo spieghi per cortesia?
2) La definzione che ho dato di funzione crescente è esatta?
3) Mi potresti spiegare cosa si intende per funzione continua? Ho presente la definzione di funzione continua in x0 () ma non rieco a capire a livello "logico" cosa vuol dire, in particolare c'è differenza tra dire funzione continua e funzione continua nel punto x0?

Di nuovo grazie e scusami per il tempo che ti faccio perdere.

EDIT:
Ovviamente cerco di risolvere da solo i vari dubbi che ho, più o meno credo di aver capito il punto 3) grzie a questo link https://www.matematicamente.it/appunti/a ... 710241866/ continuo a cercare e a sperare in una risposta ai punti 1 e 2.

[maurer]

Chiedo umilmente scusa a tutti quanti. Mi sono dimenticato che in certi casi bisogna pensare prima di parlare.

[Fioravante Patrone1]

@maurer,
tranqui. Anzi, mi spiace aver "attaccato" quello che dicevi, visto che eri animato da ottime intenzioni.
Mi scuso tra l'altro con te per il mio intervento rude, dovuto anche al fatto che avevo una fretta tremenda (come adesso), ma sentivo allo stesso tempo il dovere di intervenire.

Approfitto per dire due cose.

1-
La def. di crescenza riguarda una funzione f ed un insieme A (ovviamente contenuto nel dominio di f).
Aggiungo come nota che spesso A è un intervallo (spesso se abbiamo tra i piedi il teorema di Lagrange o compagnia):

Parlare di funzione crescente in un punto è:
- logicamente sensato, ma ha lo stesso valore conoscitivo di dire che una funzione è crescente sull'insieme vuoto (o che tutti i numeri che appartengono all'insieme vuoto sono verdolini)
- può creare confusione con una sciagurata definizione, ahime' esistente, in cui si dice che una funzione è crescente in un punto se soddisfa una condizione simile (ma non coincidenti) con la locale crescenza. Ho parlato male di questa def. ogni volta che ne ho avuto l'occasione

2. il corollario di Lagrange è noto. E certo qui in questo forum ci sono molte persone che lo possono descrivere.
Ma vininviterei a provare a ricavarvi l'enunciato da quello che avevo detto. E anche a fare la dim. che è un semplice esercizio di comprensioen diciò che si sta facendo

ciao

[maurer]

Il corollario di Lagrange afferma che se $f(x)$ è continua in un intervallo $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ e $f'(x)>0 AAx\in(a,b)$, allora $f(x)$ è crescente in tutto $[a,b]$. La dimostrazione consiste solamente nell'applicare Lagrange a due punti $x_1, x_2\in[a,b]|x_1 Mi scuso ancora.

[Fioravante Patrone1]

"maurer":Il corollario di Lagrange afferma che se $f(x)$ è continua in un intervallo $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ e $f'(x)>0 AAx\in(a,b)$, allora $f(x)$ è crescente in tutto $[a,b]$. La dimostrazione consiste solamente nell'applicare Lagrange a due punti $x_1, x_2\in[a,b]|x_1
esatto!


saluti da Ischia

[VitOne1]

"maurer":Il corollario di Lagrange afferma che se $f(x)$ è continua in un intervallo $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ e $f'(x)>0 AAx\in(a,b)$, allora $f(x)$ è crescente in tutto $[a,b]$. La dimostrazione consiste solamente nell'applicare Lagrange a due punti $x_1, x_2\in[a,b]|x_1 Mi scuso ancora.

Non hai nulla di cui scusarti, grazie per i tuoi interventi.