Intervalli monotonia funzione
data questa funzione
$f(x)=log_3(-x^2+4x+5)$ per $x in [0,3]$
come si fa a determinarne gli intervalli di monotonia e i massimi/minimi assoluti e relativi?
$f(x)=log_3(-x^2+4x+5)$ per $x in [0,3]$
come si fa a determinarne gli intervalli di monotonia e i massimi/minimi assoluti e relativi?
Risposte
puoi farlo come una qualunque funzione calcolando la derivata prima, però devi fare attenzione alla base del logaritmo
Prima di tutto stabilisci quale sia il dominio della funzione.
dunque, premesso che non posso usare le derivate, avrei pensato:
$f(x)=log_3(x)$
$g(x)=-x^2+4x+5$
e quindi considerarla come composizione $f ° g$
andando ad analizzare l'intervallo 0,3
la funzione f(x) e' crescente
la funzione g(x) e' strettamente crescente
quindi il minimo assoluto sarebbe $x=0$ e $f(x)=log_3(5)$ ed il massimo assoluto $x=3$ e $f(x)=log_3(26)$; non ci sono massimi e minimi relativi
se ho detto un mucchio di corbellerie fatemi sapere, per favore ._.
$f(x)=log_3(x)$
$g(x)=-x^2+4x+5$
e quindi considerarla come composizione $f ° g$
andando ad analizzare l'intervallo 0,3
la funzione f(x) e' crescente
la funzione g(x) e' strettamente crescente
quindi il minimo assoluto sarebbe $x=0$ e $f(x)=log_3(5)$ ed il massimo assoluto $x=3$ e $f(x)=log_3(26)$; non ci sono massimi e minimi relativi
se ho detto un mucchio di corbellerie fatemi sapere, per favore ._.
Prima di tutto dovresti seguire il consiglio di Camillo, ovvero determinare il dominio della tua funzione. Sai come si fa?
Poi, tecnicamente, i massimi e i minimi assoluti sono anche punti di massimo e minimo relativo, quindi è una contraddizione dire contemporaneamente che hai punti di massimo e minimo assoluti e non relativi.
Inoltre, sei sicuro che la funzione $g(x)$ sia strettamente crescente in $[0,3]$?
Il suo vertice si trova in $x=2$ e quindi possiamo dedurre che $g(x)$ è crescente in $[0,2]$, decrescente in $[2,3]$. D'altra parte sappiamo anche che la funzione logaritmo è crescente, quindi la composizione $log_3 (g(x))$ è crescente esattamente dove è crescente $g(x)$ e decrescente altrove...
Direi che a questo punto dovresti calcolare il valore della tua funzione in almeno tre punti: $0$, $2$ e $3$...
Poi, tecnicamente, i massimi e i minimi assoluti sono anche punti di massimo e minimo relativo, quindi è una contraddizione dire contemporaneamente che hai punti di massimo e minimo assoluti e non relativi.
Inoltre, sei sicuro che la funzione $g(x)$ sia strettamente crescente in $[0,3]$?
Il suo vertice si trova in $x=2$ e quindi possiamo dedurre che $g(x)$ è crescente in $[0,2]$, decrescente in $[2,3]$. D'altra parte sappiamo anche che la funzione logaritmo è crescente, quindi la composizione $log_3 (g(x))$ è crescente esattamente dove è crescente $g(x)$ e decrescente altrove...
Direi che a questo punto dovresti calcolare il valore della tua funzione in almeno tre punti: $0$, $2$ e $3$...
il dominio dovrebbe essere $-x^2+4x+5>0$, con $x E R - {1,5}$, giusto?
per la funzione hai ragione, avevo fatto il disegno omettendo il - all'inizio e mi ritrovavo tutto capovolto
per la funzione hai ragione, avevo fatto il disegno omettendo il - all'inizio e mi ritrovavo tutto capovolto
No, così è sbagliato...
Dici bene quando affermi che il dominio è caratterizzato dalla condizione $-x^2+4x+5>0$, ma poi sbagli a risolvere la disequazione di secondo grado.
Ti faccio osservare, ad esempio, che $g(-2)=-(-2)^2+4\cdot(-2) + 5 = - 4 - 8 + 5 = - 7 < 0$ eppure $-2$ rientrerebbe nel dominio da te proposto!
Tu hai calcolato le radici (e hai sbagliato a ricopiare, perché $1$ non è soluzione, ma lo è $-1$). Quindi puoi scrivere $-x^2+4x+5 = -(x+1)(x-5)$ e inoltre $-(x+1)(x-5) > 0 \iff (x+1)(x-5) < 0 \iff x < -1 \vv x > 5$.
Ti ritrovi in questi passaggi?
Dici bene quando affermi che il dominio è caratterizzato dalla condizione $-x^2+4x+5>0$, ma poi sbagli a risolvere la disequazione di secondo grado.
Ti faccio osservare, ad esempio, che $g(-2)=-(-2)^2+4\cdot(-2) + 5 = - 4 - 8 + 5 = - 7 < 0$ eppure $-2$ rientrerebbe nel dominio da te proposto!
Tu hai calcolato le radici (e hai sbagliato a ricopiare, perché $1$ non è soluzione, ma lo è $-1$). Quindi puoi scrivere $-x^2+4x+5 = -(x+1)(x-5)$ e inoltre $-(x+1)(x-5) > 0 \iff (x+1)(x-5) < 0 \iff x < -1 \vv x > 5$.
Ti ritrovi in questi passaggi?
giustissimo, non giusto; devo stare attento coi segni.
per indicare il dominio mi basta scrivere $x<-1 v x>5$?
quindi per studiarne la monotonia, dovrei concludere che cresce da 0 (minimo assoluto) a 2 (massimo assoluto), decresce da 2 a 3 (minimo relativo)?
per indicare il dominio mi basta scrivere $x<-1 v x>5$?
quindi per studiarne la monotonia, dovrei concludere che cresce da 0 (minimo assoluto) a 2 (massimo assoluto), decresce da 2 a 3 (minimo relativo)?
Ecco, così le risposte sono giuste.
Per indicare il dominio io personalmente uso quella notazione e non so che notazione usi il tuo docente. Forse è preferibile usare la notazione standard $(-\infty, -1) \uu (5,+\infty)$.
Per indicare il dominio io personalmente uso quella notazione e non so che notazione usi il tuo docente. Forse è preferibile usare la notazione standard $(-\infty, -1) \uu (5,+\infty)$.
in genere utilizziamo quella standard, si' ^_^
sei stato gentilissimo, non sono davvero come ringraziarti; questo forum e' sempre piu' la mia salvezza
ora torno a studiare che e' meglio
sei stato gentilissimo, non sono davvero come ringraziarti; questo forum e' sempre piu' la mia salvezza
ora torno a studiare che e' meglio
scustemi ancora un dubbio; se avessi avuto una sola soluzione dalla disequazione sarebbe significato che il dominio sarebbe stato tutto R tranne quel valore, giusto?
e se invece non avessi avuto alcuna soluzione il dominio sarebbe stato tutto R?
e se invece non avessi avuto alcuna soluzione il dominio sarebbe stato tutto R?
Quello che dici non è proprio corretto da un punto di vista formale.
Immagino che stiamo ancora parlando di disequazioni di secondo grado. E mi sembra di capire che non hai tanto chiaro l'argomento.
Trattiamo il caso generale. Sia [tex]a x^2 + b x + c > 0[/tex], dove [tex]a \ne 0[/tex]. Per prima cosa valutiamo [tex]\Delta = b^2 - 4ac[/tex]. Se [tex]\Delta < 0[/tex] allora l'equazione associata [tex]a x^2 + b x + c = 0[/tex] non ha soluzioni (reali). Segue che la parabola [tex]a x^2 + bx +c[/tex] non cambia mai segno. In particolare, se [tex]a>0[/tex] la parabola è sempre positiva, se [tex]a<0[/tex] è sempre negativa.
Se [tex]\Delta = 0[/tex] l'equazione associata ha una sola soluzione. Altrove è di segno costante; se [tex]a > 0[/tex] allora è positiva, se [tex]a < 0[/tex], negativa. Infine, se [tex]\Delta > 0[/tex], ci sono due soluzioni, diciamo [tex]x_1, x_2[/tex] con [tex]x_1 < x_2[/tex]. Se [tex]a>0[/tex] allora la parabola sarà positiva per in [tex](-\infty,x_1) \cup (x_2, +\infty)[/tex] e negativa in [tex](x_1, x_2)[/tex]; viceversa se [tex]a<0[/tex].
Se poi accompagni questo schema riassuntivo con qualche bel grafico che illustri la situazione generale, vedrai che ti sarà tutto quanto chiaro.
Tieni presente che questi sono requisiti minimi per un corso di Analisi 1 e quindi è indispensabile che cerchi di padroneggiarli al meglio prima di iniziare a lavorare con gli esercizi standard che vengono assegnati.
Ti è un po' più chiaro adesso? Se hai dubbi non esitare a chiedere...
Immagino che stiamo ancora parlando di disequazioni di secondo grado. E mi sembra di capire che non hai tanto chiaro l'argomento.
Trattiamo il caso generale. Sia [tex]a x^2 + b x + c > 0[/tex], dove [tex]a \ne 0[/tex]. Per prima cosa valutiamo [tex]\Delta = b^2 - 4ac[/tex]. Se [tex]\Delta < 0[/tex] allora l'equazione associata [tex]a x^2 + b x + c = 0[/tex] non ha soluzioni (reali). Segue che la parabola [tex]a x^2 + bx +c[/tex] non cambia mai segno. In particolare, se [tex]a>0[/tex] la parabola è sempre positiva, se [tex]a<0[/tex] è sempre negativa.
Se [tex]\Delta = 0[/tex] l'equazione associata ha una sola soluzione. Altrove è di segno costante; se [tex]a > 0[/tex] allora è positiva, se [tex]a < 0[/tex], negativa. Infine, se [tex]\Delta > 0[/tex], ci sono due soluzioni, diciamo [tex]x_1, x_2[/tex] con [tex]x_1 < x_2[/tex]. Se [tex]a>0[/tex] allora la parabola sarà positiva per in [tex](-\infty,x_1) \cup (x_2, +\infty)[/tex] e negativa in [tex](x_1, x_2)[/tex]; viceversa se [tex]a<0[/tex].
Se poi accompagni questo schema riassuntivo con qualche bel grafico che illustri la situazione generale, vedrai che ti sarà tutto quanto chiaro.
Tieni presente che questi sono requisiti minimi per un corso di Analisi 1 e quindi è indispensabile che cerchi di padroneggiarli al meglio prima di iniziare a lavorare con gli esercizi standard che vengono assegnati.
Ti è un po' più chiaro adesso? Se hai dubbi non esitare a chiedere...
maurer sei stato chiarissimo, ti ringrazio ancora; stampo questo schemino riassuntivo, mi potrebbe tornare utile
Più che stampare questo schemino, dovresti sforzarti di capirlo.
Non serve che lo impari a memoria. Se fai come ti ho detto, ossia tracci i grafici delle situazioni che possono presentarsi, vedrai che tutto ti diventerà chiaro e non avrai mai più dubbi su questo tipo di disequazioni! Ti esorto veramente a farlo...
Non serve che lo impari a memoria. Se fai come ti ho detto, ossia tracci i grafici delle situazioni che possono presentarsi, vedrai che tutto ti diventerà chiaro e non avrai mai più dubbi su questo tipo di disequazioni! Ti esorto veramente a farlo...
l'ho fatto, l'ho fatto... alla prima volta che l'ho letto mi son perso nel vuoto, alla seconda ho provato a fare qualche grafico 
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