Intervalli di monotonia di una funzione

[marko89-votailprof]

la funzione è f(x)= $ (8-log5x)^2/(6-(log5x)^2) $ con $ 0 il problema è che non mi trovo nel calcolo della derivata prima.. comunque se non sbaglio i calcoli si ha:
$ [[16/x-2log(5x)/x][6-(log5x)^2]-[-2log(5x)/x][(8-log5x)^2]]/[6-(log5x)^2]^2 $

a questo punto non riesco più ad andare avanti per fare lo studio del segno. sapreste aiutarmi?

[Nicole931]

al numeratore, anzichè inizialmente moltiplicare per 2, puoi raccogliere $8-log5x$

[marko89-votailprof]

e quindi dovrei avere $ (8-log5x)[(12/x-2(log5x)^2/x)-(8-log5x)(-2log5x)/x] $
niente da fare..credo di sbagliare tutti quei passaggi algebrici...come posso continuare?

[Nicole931]

intanto puoi discutere il primo fattore
poi procederei con i raccoglimenti :
$1/x*[12-2(log(5x))^2+(8-log(5x))*2log(5x)]$

ora puoi discutere il secondo fattore, ed eseguire i calcoli tra parentesi quadra; ottieni:

$12-4(log(5x))^2 +16 log(5x)$
a questo punto hai una disequazione logaritmica, che puoi risolvere facilmente ponendo innanzitutto le C.E. sull'argomento del logaritmo : $5x>0$ e poi tramite l'aiuto di un'incognita ausiliaria : $log(5x)=y$

[marko89-votailprof]

ottimo..credo di esserci..grazie mi hai chiarito tanti dubbi..ovviamente ad esempio quando discuto 1/x è giusto dire >o nell'intervallo $ 0

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[Nicole931]

certo! tutti i tuoi risultati vanno riferiti all'intervallo di definizione; quindi , quando fai il grafico dei segni per risolvere la disequazione, cancella pure le parti che non ti interessano , cioè quelle esterne all'intervallo