Intervalli di monotonia 2

Tommy85 · 2012-11-09CET20:12:23+01:00

"$f(x)=(x e^(-x))\//(x-log x)$ il dominio \u00e8 $x>0$\n$f'(x)=(e^(-x)(x-1)(log x -x-1))\//(x-logx)^2$\nmi studio$f'(x)>0$ $e^(-x)$ \u00e8sempre maggiore di zero $(x-1)>0$ $(log x -x-1)>0$ $x-logx>0$ ?"

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Tommy85

9 nov 2012, 20:12

$f(x)=(x e^(-x))/(x-log x)$ il dominio è $x>0$
$f'(x)=(e^(-x)(x-1)(log x -x-1))/(x-logx)^2$
mi studio$f'(x)>0$ $e^(-x)$ èsempre maggiore di zero $(x-1)>0$ $(log x -x-1)>0$ $x-logx>0$ ?

Risposte

Obidream

9 nov 2012, 19:38

Dunque $e^(-x)$ come hai detto giustamente è sempre positiva, da $x-1>0$ si ottiene $x>1$, mentre per $log(x)-x-1>0$ farei così...
$log(x)-1>x$

Questa si risolve facilmente col metodo grafico, visto che sono due funzioni il cui andamento è noto e non dovrebbe avere soluzioni in $RR$...
Per il denominatore invece vale il contrario, usando lo stesso metodo:

$(x-log(x))(x-log(x))>0$

Basta risolvere una delle 2 quindi:
$x>log(x)$
Questa è sempre vera per tutte le $x>0$, in quanto il logaritmo è definito soltanto se il suo argomento è strettamente positivo..