Intervalli di integrazione per un integrale triplo
Salve a tutti, ho fatto una domanda simile in precedenza ma ho ancora dubbi riguardo all'argomento di come individuare correttamente gli intervalli in cui vivono le variabili negli integrali tripli.
A tal proposito, porto un esempio che mi crea problemi
$$\iiint_Axzdxdydz$$
Dove $A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R^3} : x^2+y^2+z^2\geq1, z\leq-2\sqrt(x^2+y^2)+2, x\geq0}$.
Passo in coordinate cilindriche, ottenendo
$$\iiint_Axzdxdydz=\iiint_Bz \rho\cos\theta d\rho d\theta dz$$
Dove $B=\{(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)\in\mathbb{R^3} : \rho^2+z^2\geq1, z\leq-2\rho+2, \rho\cos\theta\geq0, \rho\geq0, \theta\in[0,2\pi)}$.
Quando inizio a cercare gli intervalli di integrazione ho questi dubbi:
1) Dalla prima limitazione trovo che $\rho\geq\sqrt(1-z^2)$ e dalla seconda trovo che $\rho\leq-\frac{z}{2}+1$, ma è anche $\rho\geq0$, come mi assicuro che il limite inferiore per $\rho$ sia $\sqrt(1-z^2)$ e non $0$?
So che $\sqrt(1-z^2)$ è una quantità sempre non negativa, ma tale è anche $\rho$: come mi accerto di quale sia il limite inferiore?
Inoltre, scrivendo $\rho\geq\sqrt(1-z^2)$ si genera una radice, perciò deve risultare $-1\leqz\leq1$: è da questo che deduco altre limitazioni su $z$?
2) Avrei anche potuto procedere esplicitando prima $z$, ottenendo dalla prima $z\geq\sqrt(1-\rho^2)$ unito $z\leq-\sqrt(1-\rho^2)$ e ottenendo dalla seconda $z\leq-2\rho+2$?
Se sì, poi dovrei discutere $\sqrt(1-\rho^2)\leqz\leq\min\{-\sqrt(1-\rho^2),-2\rho+2}$; però mi sembra un'assurdità perché a sinistra ho $\sqrt(1-\rho^2)$, quantità non negativa, mentre a destra sia che abbia $-\sqrt(1-\rho^2)$ o che abbia $-2\rho+2$ risulterebbe una quantità negativa maggiore di una positiva.
Perciò questo secondo approccio non funziona? Se non funziona, questo è un caso particolare in cui non funziona oppure in generale dipende dal problema e posso decidere arbitrariamente quale variabile fissare prima e dedurre le altre di conseguenza?
Se l'approccio va e semplicemente non sto capendo/ho fatto errori, anche in questo caso dedurrei altri vincoli su $\rho$ dalla radice (ossia dalla radice deve risultare $-1\leq\rho\leq1$, che poi in realtà è $0\leq\rho\leq1$? in quant0 $\rho$ è definito non negativo?)?
3) Per $\theta$ non ho problemi, in quanto c'è solo la limitazione $\cos\theta\geq0$ che mi restituisce $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$ unito $\theta\in[\frac{3\pi}{2},2\pi]$; se volessi però scriverlo con radianti anche negativi dovrei considerare $\theta\in[-\pi,\pi]$ fin dal principio o ciò non è possibile per qualche motivo?
Grazie per il vostro tempo.
A tal proposito, porto un esempio che mi crea problemi
$$\iiint_Axzdxdydz$$
Dove $A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R^3} : x^2+y^2+z^2\geq1, z\leq-2\sqrt(x^2+y^2)+2, x\geq0}$.
Passo in coordinate cilindriche, ottenendo
$$\iiint_Axzdxdydz=\iiint_Bz \rho\cos\theta d\rho d\theta dz$$
Dove $B=\{(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)\in\mathbb{R^3} : \rho^2+z^2\geq1, z\leq-2\rho+2, \rho\cos\theta\geq0, \rho\geq0, \theta\in[0,2\pi)}$.
Quando inizio a cercare gli intervalli di integrazione ho questi dubbi:
1) Dalla prima limitazione trovo che $\rho\geq\sqrt(1-z^2)$ e dalla seconda trovo che $\rho\leq-\frac{z}{2}+1$, ma è anche $\rho\geq0$, come mi assicuro che il limite inferiore per $\rho$ sia $\sqrt(1-z^2)$ e non $0$?
So che $\sqrt(1-z^2)$ è una quantità sempre non negativa, ma tale è anche $\rho$: come mi accerto di quale sia il limite inferiore?
Inoltre, scrivendo $\rho\geq\sqrt(1-z^2)$ si genera una radice, perciò deve risultare $-1\leqz\leq1$: è da questo che deduco altre limitazioni su $z$?
2) Avrei anche potuto procedere esplicitando prima $z$, ottenendo dalla prima $z\geq\sqrt(1-\rho^2)$ unito $z\leq-\sqrt(1-\rho^2)$ e ottenendo dalla seconda $z\leq-2\rho+2$?
Se sì, poi dovrei discutere $\sqrt(1-\rho^2)\leqz\leq\min\{-\sqrt(1-\rho^2),-2\rho+2}$; però mi sembra un'assurdità perché a sinistra ho $\sqrt(1-\rho^2)$, quantità non negativa, mentre a destra sia che abbia $-\sqrt(1-\rho^2)$ o che abbia $-2\rho+2$ risulterebbe una quantità negativa maggiore di una positiva.
Perciò questo secondo approccio non funziona? Se non funziona, questo è un caso particolare in cui non funziona oppure in generale dipende dal problema e posso decidere arbitrariamente quale variabile fissare prima e dedurre le altre di conseguenza?
Se l'approccio va e semplicemente non sto capendo/ho fatto errori, anche in questo caso dedurrei altri vincoli su $\rho$ dalla radice (ossia dalla radice deve risultare $-1\leq\rho\leq1$, che poi in realtà è $0\leq\rho\leq1$? in quant0 $\rho$ è definito non negativo?)?
3) Per $\theta$ non ho problemi, in quanto c'è solo la limitazione $\cos\theta\geq0$ che mi restituisce $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$ unito $\theta\in[\frac{3\pi}{2},2\pi]$; se volessi però scriverlo con radianti anche negativi dovrei considerare $\theta\in[-\pi,\pi]$ fin dal principio o ciò non è possibile per qualche motivo?
Grazie per il vostro tempo.
Risposte
Coordinate cilindriche
$\{(x=\rhocos\theta),(y=\rhosin\theta),(z=z):} ^^ [\rho gt= 0] ^^ [0 lt= \theta lt 2\pi]$
Insieme
[$\rho^2+z^2 gt= 1] ^^ [z lt= -2\rho+2] ^^ [\rhocos\theta gt= 0]$
Poichè:
$[\rhocos\theta gt= 0] rarr [cos\theta gt= 0] rarr [0 lt= \theta lt= \pi/2] vv [(3\pi)/2 lt= \theta lt 2\pi]$
non rimane che trattare il seguente insieme:
[$\rho^2+z^2 gt= 1] ^^ [z lt= -2\rho+2] ^^ [\rho gt= 0]$
Procedimento 1
Fisso $\rho$ affinchè i due insiemi sottostanti siano diversi dal vuoto:
Insieme 1. $[0 lt= \rho lt= 1] rarr [z lt= -sqrt(1-\rho^2) vv z gt= sqrt(1-\rho^2)] ^^ [z lt= -2\rho+2]$
Insieme 2. $[\rho gt 1] rarr [z lt= -2\rho+2]$
Determino $\rho$ affinchè gli estremi dell'insieme 1 siano ordinati:
$[sqrt(1-\rho^2) lt -2\rho+2] rarr [1-\rho^2 lt 4\rho^2-8\rho+4] rarr [5\rho^2-8\rho+3 gt 0] rarr [\rho lt 3/5 vv \rho gt 1]$
$[0 lt= \rho lt 3/5] rarr [sqrt(1-\rho^2) lt -2\rho+2]$
$[3/5 lt \rho lt 1] rarr [sqrt(1-\rho^2) gt -2\rho+2]$
Per quanto riguarda l'insieme 1:
$[0 lt= \rho lt 3/5] rarr [z lt= -sqrt(1-\rho^2)] vv [sqrt(1-\rho^2) lt= z lt= -2\rho+2]$
$[3/5 lt= \rho lt= 1] rarr [z lt= -sqrt(1-\rho^2)]$
In definitiva:
$[0 lt= \rho lt 3/5] rarr [z lt= -sqrt(1-\rho^2)] vv [sqrt(1-\rho^2) lt= z lt= -2\rho+2]$
$[3/5 lt= \rho lt= 1] rarr [z lt= -sqrt(1-\rho^2)]$
$[\rho gt 1] rarr [z lt= -2\rho+2]$
In linea di principio, prestando particolare attenzione, è possibile procedere in modo puramente analitico. Tuttavia, con l'ausilio di un grafico:
[$\rho^2+z^2 gt= 1] ^^ [z lt= -2\rho+2] ^^ [\rho gt= 0]$
l'intero procedimento diventa molto più intuitivo. Basta spazzare il piano con una retta verticale:
Procedimento 1
Fisso $\rho$
prestando attenzione agli intervalli in cui si interseca l'insieme in esame, la regione verde nella figura di cui sopra.
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