Intersezione retta e sfera
Salve a tutti
il mio problema è questo:
Devo trovare il punto di intersezione con la sfera $ S^(n-1) $ e la semiretta passante per un punto $ x in B^n={x in RR ^n:||x||leq1 } $ e direzione $ u(x)=(x-f(x))/||x-f(x)|| $ .
io so che la sfera ha equazione $ ||x||=1 $ , però non so con cosa la devo mettere a sistema per trovare il punto di intersezione.
Naturalmente quello che andrò a trovare è un luogo di punti. Giusto?
il mio problema è questo:
Devo trovare il punto di intersezione con la sfera $ S^(n-1) $ e la semiretta passante per un punto $ x in B^n={x in RR ^n:||x||leq1 } $ e direzione $ u(x)=(x-f(x))/||x-f(x)|| $ .
io so che la sfera ha equazione $ ||x||=1 $ , però non so con cosa la devo mettere a sistema per trovare il punto di intersezione.
Naturalmente quello che andrò a trovare è un luogo di punti. Giusto?
Risposte
Provo a darti una mano, ma non ho mai affrontato esercizi del genere, quindi non sono certo della correttezza! Ti consiglio in ogni caso di aspettare qualcuno più preparato.
Chiamiamo $\bar \omega$, un punto incognito, per costruire la retta.
La direzione della retta è $u(\bar x)=(\bar x -f(\bar x))/(||\bar x -f(\bar x)||)$.
Questa direzione è uguale alla direzione $\hatu(\barx)=[\bar x -f(\bar x)]$, in quanto $(\bar x -f(\bar x))/(||\bar x -f(\bar x)||)$ è semplicemente il vettore $[\bar x -f(\bar x)]$ normalizzato.
Quindi l'equazione della retta passante per $\barx$ e direzione $\hatu(\barx)$ sarà: $\bar\omega-\barx=t[\bar x -f(\bar x)]$.
La sfera $||\barx||<=1$ è una sfera avente come centro l'origine e raggio $1$, infatti:
$||\barx||=sqrt(x_1^2+x_2^2+...x_(n-1)^2)=1->x_1^2+x_2^2+...x_(n-1)^2=1$.
${(\bar\omega-\barx=t[\bar x -f(\bar x)]),(||\barx||=1):}$
Ma $||\barx||$ altro non è che la radice quadrata del prodotto scalare $\barx*\barx$. Ovvero $||\barx||=sqrt(\barx*\barx)$. Quindi:
${(\bar\omega-\barx=t[\bar x -f(\bar x)]),(||\barx||=1):}->{(\bar\omega-\barx=t[\bar x -f(\bar x)]),(sqrt(\barx*\barx)=1):}->{(\bar\omega-\barx=t[\bar x -f(\bar x)]),(\barx*\barx=1):} $.
Risolvendo la $(1)$, si ottiene: $\barx=(\bar\omega+tf(\barx))/(t+1)$. Sostituendo questo risultato nella $(2)$:
$(\bar\omega+tf(\barx))/(t+1)*(\bar\omega+tf(\barx))/(t+1)=||(\bar\omega+tf(\barx))/(t+1)||^2=1$.
Quindi direi che il risultato sarà il segmento $s(\bar\omega)={\bar\omega\inRR^(n-1):||(\bar\omega+tf(\barx))/(t+1)||=1}$.
Spero che sia corretto, o altrimenti, nel caso in cui io abbia sbagliato, spero che ti abbia fatto venire in mente una strada per la soluzione!
Chiamiamo $\bar \omega$, un punto incognito, per costruire la retta.
La direzione della retta è $u(\bar x)=(\bar x -f(\bar x))/(||\bar x -f(\bar x)||)$.
Questa direzione è uguale alla direzione $\hatu(\barx)=[\bar x -f(\bar x)]$, in quanto $(\bar x -f(\bar x))/(||\bar x -f(\bar x)||)$ è semplicemente il vettore $[\bar x -f(\bar x)]$ normalizzato.
Quindi l'equazione della retta passante per $\barx$ e direzione $\hatu(\barx)$ sarà: $\bar\omega-\barx=t[\bar x -f(\bar x)]$.
La sfera $||\barx||<=1$ è una sfera avente come centro l'origine e raggio $1$, infatti:
$||\barx||=sqrt(x_1^2+x_2^2+...x_(n-1)^2)=1->x_1^2+x_2^2+...x_(n-1)^2=1$.
${(\bar\omega-\barx=t[\bar x -f(\bar x)]),(||\barx||=1):}$
Ma $||\barx||$ altro non è che la radice quadrata del prodotto scalare $\barx*\barx$. Ovvero $||\barx||=sqrt(\barx*\barx)$. Quindi:
${(\bar\omega-\barx=t[\bar x -f(\bar x)]),(||\barx||=1):}->{(\bar\omega-\barx=t[\bar x -f(\bar x)]),(sqrt(\barx*\barx)=1):}->{(\bar\omega-\barx=t[\bar x -f(\bar x)]),(\barx*\barx=1):} $.
Risolvendo la $(1)$, si ottiene: $\barx=(\bar\omega+tf(\barx))/(t+1)$. Sostituendo questo risultato nella $(2)$:
$(\bar\omega+tf(\barx))/(t+1)*(\bar\omega+tf(\barx))/(t+1)=||(\bar\omega+tf(\barx))/(t+1)||^2=1$.
Quindi direi che il risultato sarà il segmento $s(\bar\omega)={\bar\omega\inRR^(n-1):||(\bar\omega+tf(\barx))/(t+1)||=1}$.
Spero che sia corretto, o altrimenti, nel caso in cui io abbia sbagliato, spero che ti abbia fatto venire in mente una strada per la soluzione!
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