Intersezione di intorni
Sia $(X,tau)$ uno spazio topologico. Si vuole dimostrare che:
$nn_lambda mu_lambda = {x}$ con $mu_lambda$ intorno di $x$, $AA x iff {x}$ sono chiusi
Vorrei innanzitutto provare la prima implicazione ovvero che
$nn_lambda mu_lambda = {x}$ con $mu_lambda$ intorno di $x$, $AA x => {x}$ sono chiusi
e per far ciò considero tutti gli intorni di $x$... per definzione un intorno di un elemento è un insieme che contiene un aperto contenente l'elemento; è chiaro che gli intorni essendo insiemi generico possono essere sia aperti che chiusi, allo divido in due categorie gli intorni di $x$: gli aperti e i chiusi. Opero su questi due sottoinsiemi e poi faccio l'intersezione. Per quanto riguarda i chiusi non ci sono problemi, perché l'intersezione di infiniti chiusi è un chiuso... ma per gli aperti come si fa? ha senso fare l'intersezione di infiniti aperti? e se ha senso, il risultato qual è?
$nn_lambda mu_lambda = {x}$ con $mu_lambda$ intorno di $x$, $AA x iff {x}$ sono chiusi
Vorrei innanzitutto provare la prima implicazione ovvero che
$nn_lambda mu_lambda = {x}$ con $mu_lambda$ intorno di $x$, $AA x => {x}$ sono chiusi
e per far ciò considero tutti gli intorni di $x$... per definzione un intorno di un elemento è un insieme che contiene un aperto contenente l'elemento; è chiaro che gli intorni essendo insiemi generico possono essere sia aperti che chiusi, allo divido in due categorie gli intorni di $x$: gli aperti e i chiusi. Opero su questi due sottoinsiemi e poi faccio l'intersezione. Per quanto riguarda i chiusi non ci sono problemi, perché l'intersezione di infiniti chiusi è un chiuso... ma per gli aperti come si fa? ha senso fare l'intersezione di infiniti aperti? e se ha senso, il risultato qual è?
Risposte
Attenzione: non è detto che un insieme sia o aperto o chiuso; anzi, in generale un insieme non è nè aperto nè chiuso.
vero... allora il mio ragionamento non ha senso...
come posso procedere allora per tentare di dimostrare la prima implicazione? vorrei valutare quell'intersezione ma non ci riesco, in quanto so per certo che l'intersezione di chiusi è un chiuso, ma... in generale non so niente riguardo un'intersezione che potrebbe essere infinita
come posso procedere allora per tentare di dimostrare la prima implicazione? vorrei valutare quell'intersezione ma non ci riesco, in quanto so per certo che l'intersezione di chiusi è un chiuso, ma... in generale non so niente riguardo un'intersezione che potrebbe essere infinita
Ma per la prima implicazione non ti basta prendere una intersezione numerabile di chiusi? Essa è un chiuso, ed è proprio {x}. Credo che è sull'implicazione inversa che ci sia da lavorare.
non è limitativo prendere un'intersezione numerabile di chiusi? l'insieme di tutti gli intorni di un punto non è formato da soli chiusi, non vedo perché scegliere arbitrariamente solo dei chiusi 
Beh, ma tu stai supponendo che {x} sia l'intersezione di ogni famiglia concepibile di intorni di x; quindi scegli la famiglia che più ti fa comodo.
ooops... effettivamente mi perdevo in un niente 
luca però ripensandoci... è vero che se prendo una intersezione numerabile di chiusi ottengo un chiuso, ma chi mi garantisce che tale chiuso sia uguale al solo elemento $x$ e non contenga anche altri elementi? per essere sicuro di ottenere soltanto $x$ devo prendere tutti gli intorni... almeno per ipotesi questo ci è garantito
Allora non ho capito l'enunciato; quell'intersezione è l'intersezione di tutti gli intorni di x?
sinceramente non lo so... semplicemente ho copiato il testo e l'ho interpretato come "l'intersezione di tutti gli intorni di x è uguale al solo elemento x"... ma magari quella simbologia indica altro
Se $U_\lambda$ è un intorno di $x$, allora $U_\lambda$ contiene un aperto contenente $x$, ma allora $U_\lambda$ contiene ${x}$ e la chiusura di ${x}$. Ma l'ipotesi dice che l'intersezione degli $U_\lambda$ è solo ${x}$, quindi ${x}$ coincide con la sua chiusura.
hmmm chi ci assicura che $U_lambda$ contenga anche la chiusura di $x$? ci sto pensando da un bel po' ma non riesco a capacitarmene...
In effetti qualcosa che non torna c'è: supponiamo che ${x}$ sia un intorno di $x$ (e ci sono spazi topologici in cui ${x}$ è intorno di $x$, sono detti spazi discreti); allora l'intersezione di tutti gli intorni di $x$ è evidentemente ${x}$, e quindi ${x}$ è aperto.
Quindi mi sa che bisogna dare delle ipotesi sullo spazio topologico.
Quindi mi sa che bisogna dare delle ipotesi sullo spazio topologico.
Mi sa che hai ragione... per ora lo accantono questo esercizio, magari il testo è sbagliato e stiamo perdendo tempo a vuoto
"Luca.Lussardi":
In effetti qualcosa che non torna c'è: supponiamo che ${x}$ sia un intorno di $x$ (e ci sono spazi topologici in cui ${x}$ è intorno di $x$, sono detti spazi discreti); allora l'intersezione di tutti gli intorni di $x$ è evidentemente ${x}$, e quindi ${x}$ è aperto.
Quindi mi sa che bisogna dare delle ipotesi sullo spazio topologico.
beh, però se c'è la topologia discreta ${x}$ è anche chiuso...
e, per Kroldar: perché "gettare la spugna"?
Io prima proverei a formulare in maniera ben chiara il problema. A questo punto, che esso sia identico a quello del libro o che l'affermazione possa essere falsa (e lo potrebbe essere anche se fosse identico al libro: carta canta ma solo fino a un certo punto!) poco importa.
Si avrebbe una proposizione sugli spazi topologici che la mia esperienza mi dice sarebbe sicuramente attaccabile e risolubile senza necessità di scalare l'Everest
ugh, ho detto!
Hai ragione Fioravante, in realtà a me viene in mente un assioma di separazione degli spazi topologici che mi pare ricordare equivale al fatto che i singoletti sono tutti chiusi; forse $T_2$?
Vero Fioravante, non posso darti torto... dunque va formulato bene il problema...
http://www.hostingimages.org/pub/4004/immagine.jpg
questo è il testo. Come va interpretato?
http://www.hostingimages.org/pub/4004/immagine.jpg
questo è il testo. Come va interpretato?
$T_1$ dovrebbe bastare: se due punti $x,y$ li posso separare come ${x}$ e $U$ (dove $U$ è intorno di $y$, e dove "separare" vuol dire che $U \cap {x} $ è vuota, ovvero che $x$ non appartiene ad $U$), allora posso anche separarli prendendo $U$ aperto. A questo punto, pre ogni $y$ prendo $U_y$ aperto che non contiene $x$. L'unione degli $U_y$ mi dà un aperto che è tutto lo spazio meno $x$.
Quindi ${x}$ è chiuso.
Quindi ${x}$ è chiuso.
Quindi è vero se supponi $T_1$, ma nel testo non si suppone...
@Kroldar
Secondo me l'unica minuscola ambiguità riguarda di quale famiglia di intorni di $x$ si parli. Ma, proprio perché non viene detto niente, interpreto come se fosse la famiglia di tutti gli intorni di $x$.
Insomma, per me il problema è:
Sia $(X,tau)$ uno spazio topologico. Per ogni $x \in X$, sia $\mathcalU_x$ la famiglia degli intorni di $x$.
Dimostrare che:
$[ AA x \in X \ \ \ \ nn_{U \in \mathcalU_x} U = {x}]$ $\ \ iff \ \ $ [$AA x \in X \ \ \ {x}$ è un chiuso]
Secondo me l'unica minuscola ambiguità riguarda di quale famiglia di intorni di $x$ si parli. Ma, proprio perché non viene detto niente, interpreto come se fosse la famiglia di tutti gli intorni di $x$.
Insomma, per me il problema è:
Sia $(X,tau)$ uno spazio topologico. Per ogni $x \in X$, sia $\mathcalU_x$ la famiglia degli intorni di $x$.
Dimostrare che:
$[ AA x \in X \ \ \ \ nn_{U \in \mathcalU_x} U = {x}]$ $\ \ iff \ \ $ [$AA x \in X \ \ \ {x}$ è un chiuso]
Esatto, è per forza quella l'interpretazione.
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