Intersezione di intorni
Sia $(X,tau)$ uno spazio topologico. Si vuole dimostrare che:
$nn_lambda mu_lambda = {x}$ con $mu_lambda$ intorno di $x$, $AA x iff {x}$ sono chiusi
Vorrei innanzitutto provare la prima implicazione ovvero che
$nn_lambda mu_lambda = {x}$ con $mu_lambda$ intorno di $x$, $AA x => {x}$ sono chiusi
e per far ciò considero tutti gli intorni di $x$... per definzione un intorno di un elemento è un insieme che contiene un aperto contenente l'elemento; è chiaro che gli intorni essendo insiemi generico possono essere sia aperti che chiusi, allo divido in due categorie gli intorni di $x$: gli aperti e i chiusi. Opero su questi due sottoinsiemi e poi faccio l'intersezione. Per quanto riguarda i chiusi non ci sono problemi, perché l'intersezione di infiniti chiusi è un chiuso... ma per gli aperti come si fa? ha senso fare l'intersezione di infiniti aperti? e se ha senso, il risultato qual è?
$nn_lambda mu_lambda = {x}$ con $mu_lambda$ intorno di $x$, $AA x iff {x}$ sono chiusi
Vorrei innanzitutto provare la prima implicazione ovvero che
$nn_lambda mu_lambda = {x}$ con $mu_lambda$ intorno di $x$, $AA x => {x}$ sono chiusi
e per far ciò considero tutti gli intorni di $x$... per definzione un intorno di un elemento è un insieme che contiene un aperto contenente l'elemento; è chiaro che gli intorni essendo insiemi generico possono essere sia aperti che chiusi, allo divido in due categorie gli intorni di $x$: gli aperti e i chiusi. Opero su questi due sottoinsiemi e poi faccio l'intersezione. Per quanto riguarda i chiusi non ci sono problemi, perché l'intersezione di infiniti chiusi è un chiuso... ma per gli aperti come si fa? ha senso fare l'intersezione di infiniti aperti? e se ha senso, il risultato qual è?
Risposte
la cosa strana è che questa proposta di esercizio sta agli inizi, subito dopo le definizioni di aperto, chiuso, intorno... e inoltre la cosa mi sembra troppo vasta in quanto nulla viene detto riguardo alla topologia da considerare, ma poi è proprio da come definisci la topologia che puoi considerare un insieme aperto piuttosto che chiuso... mah!
per me non è strano.
Per l'appunto dicevo che non è l'Everest.
Sperando di non essere impallinato per questo da qualche logico di passaggio, questo esercizio rientra in una parte "decidibile" della topologia. Addirittura con "tabelle della verità" se si lavora sul finito (e mi sa che ci si può ridurre a quello).
Per la soluzione, non ho proprio tempo per pensarci, oggi. Ma appena posso ci provo, se qualcuno non l'ha fatto prima (speriamo...)
ciao
Per l'appunto dicevo che non è l'Everest.
Sperando di non essere impallinato per questo da qualche logico di passaggio, questo esercizio rientra in una parte "decidibile" della topologia. Addirittura con "tabelle della verità" se si lavora sul finito (e mi sa che ci si può ridurre a quello).
Per la soluzione, non ho proprio tempo per pensarci, oggi. Ma appena posso ci provo, se qualcuno non l'ha fatto prima (speriamo...)
ciao
Ho ripensato alle idee che mi erano venute e mi sa che è falsa la cosa;
prendiamo lo spazio topologico $(X,\tau)$ dove $X={x,y}$, e gli aperti di $\tau$ sono il vuoto, $X$ e ${x}$. Allora l'intersezione di tutti gli aperti contenenti $x$ è ${x}$, ma la chiusura di ${x}$ è tutto $X$.
Quindi non è vera la prima freccia; la seconda è vera, ma è molto facile.
prendiamo lo spazio topologico $(X,\tau)$ dove $X={x,y}$, e gli aperti di $\tau$ sono il vuoto, $X$ e ${x}$. Allora l'intersezione di tutti gli aperti contenenti $x$ è ${x}$, ma la chiusura di ${x}$ è tutto $X$.
Quindi non è vera la prima freccia; la seconda è vera, ma è molto facile.
"Luca.Lussardi":
Ho ripensato alle idee che mi erano venute e mi sa che è falsa la cosa;
prendiamo lo spazio topologico $(X,\tau)$ dove $X={x,y}$, e gli aperti di $\tau$ sono il vuoto, $X$ e ${x}$. Allora l'intersezione di tutti gli aperti contenenti $x$ è ${x}$, ma la chiusura di ${x}$ è tutto $X$.
Quindi non è vera la prima freccia; la seconda è vera, ma è molto facile.
beh... ma le ipotesi non valgono per y...
Visto che la seconda freccia è "facile" provo a fare la prima, la dico un pò a parole:
- x chiuso $<=>$ X\x è aperto $<=>$ per ogni punto esterno y si trova un intorno non contenente x. Se per assurdo esistesse un punto y per cui per ogni suo intorno questo interseca x, allora le ipotesi non varrebbero per y, in quanto tutti gli intorni di y intersecati avrebbero come intersezione almeno x ed y e non solo y.
right??
- x chiuso $<=>$ X\x è aperto $<=>$ per ogni punto esterno y si trova un intorno non contenente x. Se per assurdo esistesse un punto y per cui per ogni suo intorno questo interseca x, allora le ipotesi non varrebbero per y, in quanto tutti gli intorni di y intersecati avrebbero come intersezione almeno x ed y e non solo y.
right??
Potrebbe andare, ma la cosa non mi convince ancora del tutto; mi pare che sia una proprietà troppo forte per essere vera su qualunque topologia.
beh... le ipotesi sembrano richiedere abbastanza alla topologia... cmq per dimostrare che X\x è aperto, si può anche trovare per ogni elemento esterno un intorno che non contiente x... questo si trova perchè altrimenti le ipotesi sarebbero false... forse questa dimostrazione più diretta esprime meglio le condizioni che si richiedono alla topologia, molto vicina ad essere T1, anzi, è proprio T1.... o no??? o T_0, non ricordo..
Sì, è $T_0$, tutti i singoletti sono chiusi.
leggendo la dimostrazione di thomas provo a mostrare l'implicazione: l'intersezione di tutti gli intorni uguale al solo ${x} => {x}$ è chiuso
se $AA x$ l'intersezione di tutti gli intorni di $x$ è uguale a ${x}$, allora $AA y != x$ esiste un intorno di $x$ che non contiene $y$, dunque esiste un aperto che contiene $x$ e non $y$. allora per ogni punto $x$ di $X$ considero un aperto che contiene $x$ ma non $y$, evidentemente l'unione di tutti questi aperti è $X-{y}$ e tale insieme, essendo unione di infiniti aperti, è aperto, dunque il suo complementare ${y}$ è chiuso. E siccome questo vale per ogni $x,y in X$ allora ogni insieme formato da un solo elemento è un chiuso.
che ne dite?
se $AA x$ l'intersezione di tutti gli intorni di $x$ è uguale a ${x}$, allora $AA y != x$ esiste un intorno di $x$ che non contiene $y$, dunque esiste un aperto che contiene $x$ e non $y$. allora per ogni punto $x$ di $X$ considero un aperto che contiene $x$ ma non $y$, evidentemente l'unione di tutti questi aperti è $X-{y}$ e tale insieme, essendo unione di infiniti aperti, è aperto, dunque il suo complementare ${y}$ è chiuso. E siccome questo vale per ogni $x,y in X$ allora ogni insieme formato da un solo elemento è un chiuso.
che ne dite?
"evidentemente l'unione di tutti questi aperti è X-{y}"
Perchè?
Perchè?
perché $AA x != y$ per un opportuno $y$ fissato considero un aperto che contiene $x$ e non $y$... dunque ogni punto $x in X$ è ricoperto da tale famiglia di aperti eccetto che il punto $y$... ovviamente $y$ può essere fissato in modo arbitrario e dunque tale risultato non dipende dalla scelta di $y$... no?
Sì, ok, dovrebbe andare bene.
provo a mostrare l'altra implicazione
se $AA y in X$ risulta ${y}$ chiuso, allora $X-{y}$ è aperto. fissiamo un $x$ a piacere e $AA y != x$ consideriamo gli aperti del tipo $X-{y}$, che sono anche degli intorni di $x$. ora iniziamo col dire che l'intersezioni di tutti gli intorni di $x$ per definzione è non vuota in quanto contiene almeno $x$... dobbiamo dimostrare che non contiene altri elementi oltre a $x$. ciò discende dal fatto che, se faccio l'intersezione di tutti gli intorni del tipo $X-{y} AA y != x$ ottengo l'insieme $X$ privato via via di tutti i punti eccetto $x$, dunque l'intersezione di una parte degli intorni dà il solo elemento $x$ dunque l'intersezione di tutti gli intorni è uguale a ${x}$
giusto?
se $AA y in X$ risulta ${y}$ chiuso, allora $X-{y}$ è aperto. fissiamo un $x$ a piacere e $AA y != x$ consideriamo gli aperti del tipo $X-{y}$, che sono anche degli intorni di $x$. ora iniziamo col dire che l'intersezioni di tutti gli intorni di $x$ per definzione è non vuota in quanto contiene almeno $x$... dobbiamo dimostrare che non contiene altri elementi oltre a $x$. ciò discende dal fatto che, se faccio l'intersezione di tutti gli intorni del tipo $X-{y} AA y != x$ ottengo l'insieme $X$ privato via via di tutti i punti eccetto $x$, dunque l'intersezione di una parte degli intorni dà il solo elemento $x$ dunque l'intersezione di tutti gli intorni è uguale a ${x}$
giusto?
Sì, è giusto, si sfrutta in effetti la possibilità di prendere delle famiglie arbitrarie di intorni di $x$.
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