Intersezione degli assi della f.logaritmica

[Millyy]

Ciao ragazzi non sò come procedere per l'intersezione degli assi di questa funzione log $(x^2-3)/(1-x^2)$ ..ho fatto la condizione di esistenza..
C.E.
log $(x^2-3)/(1-x^2)$ > 0

$x^2-3$>0 x =+-$sqrt(3)$
$1-x^2$>0 x=+-$sqrt(1)$

[Noisemaker]

la condizione di esistenza di quella funzione è
\begin{align*}
f(x)=\ln\left(\frac{x^2-3}{1-x^2}\right)\quad \to \quad \frac{x^2-3}{1-x^2}>0 \quad \Leftrightarrow\quad -\sqrt 3 \end{align*}
e le intersezioni con gli assi le trovi ponendo

\begin{align*}
\ln\left(\frac{x^2-3}{1-x^2}\right)=0 \quad \Leftrightarrow\quad \frac{x^2-3}{1-x^2}=1 \quad \Leftrightarrow\quad x=\pm\sqrt2
\end{align*}

sono soluzioni accettabili in base al campo di esistenza della funzione?

[Millyy]

l'intersezione è quella con l'asse x ?
non ho capito perchè poi viene x=+- $sqrt(2)$

"Noisemaker":[/quote]


[quote="Noisemaker"]la condizione di esistenza di quella funzione è
\begin{align*}
f(x)=\ln\left(\frac{x^2-3}{1-x^2}\right)\quad \to \quad \frac{x^2-3}{1-x^2}>0 \quad \Leftrightarrow\quad -\sqrt 3 \end{align*}
e le intersezioni con gli assi le trovi ponendo

\begin{align*}
\ln\left(\frac{x^2-3}{1-x^2}\right)=0 \quad \Leftrightarrow\quad \frac{x^2-3}{1-x^2}=1 \quad \Leftrightarrow\quad x=\pm\sqrt2
\end{align*}

sono soluzioni accettabili in base al campo di esistenza della funzione?

[Noisemaker]

"milly93":l'intersezione è quella con l'asse x ?

certo ... può avere intersezioni con l'asse $y$??

"milly93":non ho capito perchè poi viene x=+- $sqrt(2)$

\begin{align*}
\frac{x^2-3}{1-x^2}=1 \quad \Leftrightarrow\quad x^2-3 =1-x^2 \quad \Leftrightarrow\quad 2x^2 =4 \quad \Leftrightarrow\quad x=\pm\sqrt2
\end{align*}

[Millyy]

in pratica riporti sopra il denominatore ? ^^
e per quanto riguarda l'intersezione con l'asse y è -3 giusto ?

"Noisemaker":[quote="milly93"]l'intersezione è quella con l'asse x ?

certo ... può avere intersezioni con l'asse $y$??

"milly93":non ho capito perchè poi viene x=+- $sqrt(2)$

\begin{align*}
\frac{x^2-3}{1-x^2}=1 \quad \Leftrightarrow\quad x^2-3 =1-x^2 \quad \Leftrightarrow\quad 2x^2 =4 \quad \Leftrightarrow\quad x=\pm\sqrt2
\end{align*}[/quote]

[Noisemaker]

Forse è il caso che facciamo qualche passo indietro ...


\begin{align*} \frac{x^2-3}{1-x^2}=1 &\quad \Leftrightarrow\quad \frac{x^2-3}{1-x^2}-1=0 \quad \Leftrightarrow\quad \frac{x^2-3-(1-x^2)}{1-x^2}=0 \quad \Leftrightarrow\quad \frac{2x^2-4}{1-x^2}=0 \\
& \mbox{se } x\ne\pm1 \quad \Rightarrow\quad 2x^2 =4 \quad \Leftrightarrow\quad x=\pm\sqrt2 \end{align*}

l'intersezione con l'asse $y$ non può esistere perche la funzione non esiste nell'intervallo $(-1;1)$ ed essendo $0\in(-1,1),$ la funzione non può intersecare l 'asse $y$

[Millyy]

grazie ma come faccio a capire che l'intersezione con l'asse y non esiste....che significa che la funzione non esiste nell'intervallo (-1,1) ?

[retrocomputer]

Di solito l'intersezione con l'asse y si trova mettendo nella funzione il valore zero al posto della x. In questo caso cosa ti viene?

Prima di rispondere, pensa bene a dove è definito il logaritmo

[Noisemaker]

"milly93":....che significa che la funzione non esiste nell'intervallo (-1,1) ?

significa che tutti i valori (infiniti) che sono compresi tra $(-1,1)$ rendono la funzione di partenza priva di senso; ad esempio proviamo a sostituire alla funzione il valore $x=1/2:$

\begin{align*} f(1/2)=\ln\left(\frac{(1/2)^2-3}{1-(1/2)^2}\right)=\ln\left(\frac{ 1/4-3}{1-1/4}\right) =\ln\left(\frac{ -11/4}{3/4}\right)=\ln\left( -11/3\right)\end{align*}

che è ovviamente una scrittura priva di senso, in quanto il logaritmo di un numero negativo non è definito; lo stesso discorvo lo puoi fare anche per $x=0:$

\begin{align*} f(0)=\ln\left(\frac{(0)^2-3}{1-(0)^2}\right)=\ln\left(-3\right)\end{align*}

essendo anche in questo caso priva di senso la scrittura $\ln (-3),$ la funzione non potrà mai intersecare l'asse delle $y$

[Millyy]

c'è un modo per capirlo piu' velocemente? e poi perchè prendi in considerazione (-1 e 1 ) ?? ..ps: il procedimento l'ho capito...

"Noisemaker":[quote="milly93"]....che significa che la funzione non esiste nell'intervallo (-1,1) ?

significa che tutti i valori (infiniti) che sono compresi tra $(-1,1)$ rendono la funzione di partenza priva di senso; ad esempio proviamo a sostituire alla funzione il valore $x=1/2:$

\begin{align*} f(1/2)=\ln\left(\frac{(1/2)^2-3}{1-(1/2)^2}\right)=\ln\left(\frac{ 1/4-3}{1-1/4}\right) =\ln\left(\frac{ -11/4}{3/4}\right)=\ln\left( -11/3\right)\end{align*}

che è ovviamente una scrittura priva di senso, in quanto il logaritmo di un numero negativo non è definito; lo stesso discorvo lo puoi fare anche per $x=0:$

\begin{align*} f(0)=\ln\left(\frac{(0)^2-3}{1-(0)^2}\right)=\ln\left(-3\right)\end{align*}

essendo anche in questo caso priva di senso la scrittura $\ln (-3),$ la funzione non potrà mai intersecare l'asse delle $y$[/quote]

[Noisemaker]

[quote=milly93]c'è un modo per capirlo piu' velocemente? e poi perchè prendi in considerazione (-1 e 1 ) ?? ..ps: il procedimento l'ho capito..[quote]


il modo è quello di studiare il campo di esistenza , come ti ho fatto vedere nel primo post; daal campo di esistenza è evidente che la funzione non esiste in $(-1,1)$ e dunque non può avere intersezioni con l'asse dell $y.$

[Millyy]

"Noisemaker":[quote="milly93"]c'è un modo per capirlo piu' velocemente? e poi perchè prendi in considerazione (-1 e 1 ) ?? ..ps: il procedimento l'ho capito..

il modo è quello di studiare il campo di esistenza , come ti ho fatto vedere nel primo post; daal campo di esistenza è evidente che la funzione non esiste in $(-1,1)$ e dunque non può avere intersezioni con l'asse dell $y.$

[/quote]
ok grazie...senti una cosa nello studio di questa funzione dopo aver fatto l'intersezione devo calcolare i limiti?

[Noisemaker]

... studiamo la funzione ...

\begin{align*} f(x)=\ln\left(\frac{x^2-3}{1-x^2}\right)\end{align*}

abbiamo già stabilito (a fatica ) che il domino è

\begin{align*}-\sqrt 3
che la funzione interseca l'asse delle $x$ nei punti $x=\pm sqrt2;$ inoltre si può verifacare facilmente che $f(x)\ge0 \Leftrightarrow -\sqrt2\le x \le sqrt2$

a questo punto consideriamo i limiti :

\begin{align*}
\lim_{x\to-\sqrt 3^+}f(x)&=\lim_{x\to-\sqrt 3^+} \ln\left(\frac{x^2-3}{1-x^2}\right)=-\infty\\
\lim_{x\to -1^-}f(x)&=\lim_{x\to -1^-} \ln\left(\frac{x^2-3}{1-x^2}\right)=+\infty\\
\lim_{x\to 1^+}f(x)&=\lim_{x\to 1^+} \ln\left(\frac{x^2-3}{1-x^2}\right)=+\infty\\
\lim_{x\to \sqrt 3^-}f(x)&=\lim_{x\to \sqrt 3^-} \ln\left(\frac{x^2-3}{1-x^2}\right)=-\infty
\end{align*}
e dunque la funzione ammette le rette $x=\pm \sqrt 3$ e $x=\pm1$ come asintoti verticali;

calcolando la derivata ottieni:

\begin{align*}
f'(x)=\frac{4x}{x^4-4x^2+3}\quad \to \quad \frac{4x}{x^4-4x^2+3}>0 \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x> \sqrt 3\\
0 -\sqrt 3 \end{cases}
\end{align*}

quindi la funzione risulta crescente per $x<0$ e decrescente per $x>0$ e non presenta massimi e minimi relativi (assoluti non ne può avere essendo illimitata sia superiormente sia inferiormente.)

il grafico è riportato in figura:

[Millyy]

Grazie mille, sei stat veramente gentile..
Ti devo fare pero' delle domande
per quanto riguarda i limiti hai un modo veloce per sapere se la funzione è = -oo o +oo? come fai a capirlo ? ^^
e poi perchè non ci sono anche gli asintoti orizzontali?
Grazie

"Noisemaker":... studiamo la funzione ...

\begin{align*} f(x)=\ln\left(\frac{x^2-3}{1-x^2}\right)\end{align*}

abbiamo già stabilito (a fatica ) che il domino è

\begin{align*}-\sqrt 3
che la funzione interseca l'asse delle $x$ nei punti $x=\pm sqrt2;$ inoltre si può verifacare facilmente che $f(x)\ge0 \Leftrightarrow -\sqrt2\le x \le sqrt2$

a questo punto consideriamo i limiti :

\begin{align*}
\lim_{x\to-\sqrt 3^+}f(x)&=\lim_{x\to-\sqrt 3^+} \ln\left(\frac{x^2-3}{1-x^2}\right)=-\infty\\
\lim_{x\to -1^-}f(x)&=\lim_{x\to -1^-} \ln\left(\frac{x^2-3}{1-x^2}\right)=+\infty\\
\lim_{x\to 1^+}f(x)&=\lim_{x\to 1^+} \ln\left(\frac{x^2-3}{1-x^2}\right)=+\infty\\
\lim_{x\to \sqrt 3^-}f(x)&=\lim_{x\to \sqrt 3^-} \ln\left(\frac{x^2-3}{1-x^2}\right)=-\infty
\end{align*}
e dunque la funzione ammette le rette $x=\pm \sqrt 3$ e $x=\pm1$ come asintoti verticali;

calcolando la derivata ottieni:

\begin{align*}
f'(x)=\frac{4x}{x^4-4x^2+3}\quad \to \quad \frac{4x}{x^4-4x^2+3}>0 \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x> \sqrt 3\\
0 -\sqrt 3 \end{cases}
\end{align*}

quindi la funzione risulta crescente per $x<0$ e decrescente per $x>0$ e non presenta massimi e minimi relativi (assoluti non ne può avere essendo illimitata sia superiormente sia inferiormente.)

il grafico è riportato in figura:

[Noisemaker]

per stabilire se $+\infty$ o $-\infty$ ti basta considerare il segno della funzione