Interpretazione geometrica integrazione in campo complesso
Come da titolo: un integrale definito in $RR$ sta ad indicare l'area sottesa alla curva grafico, presa con segno positivo, negativo ecc. ecc...
Ma nel campo complesso come funziona?
Cioè che significa $\int_{0}^{\pi} e^(jt) dt$
ok, facendo i conti mi viene $2j$, ma può essere visualizzata in un modo più concreto o mi devo accontentare di questo?
Al solito, vi ringrazio!
Ma nel campo complesso come funziona?
Cioè che significa $\int_{0}^{\pi} e^(jt) dt$
ok, facendo i conti mi viene $2j$, ma può essere visualizzata in un modo più concreto o mi devo accontentare di questo?
Al solito, vi ringrazio!
Risposte
Questa è una domanda interessante. Cominciamo col notare che l'integrale che hai proposto è di una funzione a valori complessi ma di variabile reale. E' quindi diverso dagli integrali di funzioni di variabile complessa (quelli in $"d"z$ per intenderci).
Detto questo io darei una interpretazione geometrica in termini di somme finite.
[RiEDIT]Disegno e commento al disegno corretti.
Dalla definizione di integrale sappiamo che $int_a^bf(t)"d"t ~=sum_i f(t_i)\Deltat$, nel senso che possiamo approssimare l'integrale (che è una specie di somma continua) con somme finite, ottenute partizionando l'intervallo $[a, b]$ e scegliendo un valore di $f$ per ogni intervallino. Bisogna anche moltiplicare per $Delta t$ che è l'ampiezza dell'intervallino. Tutto questo lo sai certamente dall'integrale di funzioni $[a, b]\toRR$.
Qui siamo in $[a, b]\toCC$ e la sostanza è la stessa; solo che la somma in $CC$ non è più la somma di numeri reali a cui sei abituato ma la somma di vettori. Quindi le somme parziali di un integrale non te le devi più visualizzare come rettangolini sempre più stretti, ma come nel disegno. Qui ho preso prima intervallini di ampiezza $Delta t=pi/2$, poi di ampiezza $Delta t=pi/4$ (ovvero la metà, ecco perché i vettori verdi vengono dimezzati rispetto a quelli rossi). Prendendo ampiezze via via più piccole puoi convincerti del fatto che arriveremo al punto $2j$.
Detto questo io darei una interpretazione geometrica in termini di somme finite.
[RiEDIT]Disegno e commento al disegno corretti.
Dalla definizione di integrale sappiamo che $int_a^bf(t)"d"t ~=sum_i f(t_i)\Deltat$, nel senso che possiamo approssimare l'integrale (che è una specie di somma continua) con somme finite, ottenute partizionando l'intervallo $[a, b]$ e scegliendo un valore di $f$ per ogni intervallino. Bisogna anche moltiplicare per $Delta t$ che è l'ampiezza dell'intervallino. Tutto questo lo sai certamente dall'integrale di funzioni $[a, b]\toRR$.
Qui siamo in $[a, b]\toCC$ e la sostanza è la stessa; solo che la somma in $CC$ non è più la somma di numeri reali a cui sei abituato ma la somma di vettori. Quindi le somme parziali di un integrale non te le devi più visualizzare come rettangolini sempre più stretti, ma come nel disegno. Qui ho preso prima intervallini di ampiezza $Delta t=pi/2$, poi di ampiezza $Delta t=pi/4$ (ovvero la metà, ecco perché i vettori verdi vengono dimezzati rispetto a quelli rossi). Prendendo ampiezze via via più piccole puoi convincerti del fatto che arriveremo al punto $2j$.
Sei stato chiarissimo, veramente!
Non mi ritrovo molto fedelmente con il disegno però.. Tu dici di aver preso intervalli di ampiezza $Delta t=\pi/2$ e poi $\pi/4$, ma allora i segmenti non dovrebbero essere rispettivamente due e quattro? perchè io mi ritrovo una cosa del genere: $\int_{0}^{\pi} e^(jt) dt~=\pi/2(e^(j1/4\pi)+e^(j3/4\pi))$ oppure
$\int_{0}^{\pi} e^(jt) dt~=\pi/4(e^(j1/8\pi)+e^(j3/8\pi)+e^(j5/8\pi)+e^(j7/8\pi))$
Non mi ritrovo molto fedelmente con il disegno però.. Tu dici di aver preso intervalli di ampiezza $Delta t=\pi/2$ e poi $\pi/4$, ma allora i segmenti non dovrebbero essere rispettivamente due e quattro? perchè io mi ritrovo una cosa del genere: $\int_{0}^{\pi} e^(jt) dt~=\pi/2(e^(j1/4\pi)+e^(j3/4\pi))$ oppure
$\int_{0}^{\pi} e^(jt) dt~=\pi/4(e^(j1/8\pi)+e^(j3/8\pi)+e^(j5/8\pi)+e^(j7/8\pi))$
Hai ragione, è corretto il tuo disegno. Il mio corrisponde ad una partizione in 3 ed in 6 intervallini:
(nel seguito $f(t)=e^(it)$)
i vettori rossi sono ottenuti partizionando $[0, pi]$ in $[0, pi/3]uu [pi/3, 2/3pi]uu[2/3pi, pi]$ e sommando $f(0)pi/3+f(pi/2)pi/3+f(pi)pi/3$ (*); i vettori verdi sono ottenuti raffinando la partizione di sopra nel modo ovvio.
Spero di aver reso l'idea.
Se ti interessa questo approccio all'analisi complessa ti consiglio vivamente il libro Visual complex analysis di Tristan Needham.
___________________________________________
(*) Se avessi voluto prendere i punti medi degli intervallini la somma sarebbe stata $f(pi/6)pi/3+f(pi/2)pi/3+f(5/6)pi/3$. Comunque non è un errore, quando si formano somme parziali l'importante è scegliere un punto qualsiasi dell'intervallino, non per forza il punto medio.
(nel seguito $f(t)=e^(it)$)
i vettori rossi sono ottenuti partizionando $[0, pi]$ in $[0, pi/3]uu [pi/3, 2/3pi]uu[2/3pi, pi]$ e sommando $f(0)pi/3+f(pi/2)pi/3+f(pi)pi/3$ (*); i vettori verdi sono ottenuti raffinando la partizione di sopra nel modo ovvio.
Spero di aver reso l'idea.
Se ti interessa questo approccio all'analisi complessa ti consiglio vivamente il libro Visual complex analysis di Tristan Needham.
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(*) Se avessi voluto prendere i punti medi degli intervallini la somma sarebbe stata $f(pi/6)pi/3+f(pi/2)pi/3+f(5/6)pi/3$. Comunque non è un errore, quando si formano somme parziali l'importante è scegliere un punto qualsiasi dell'intervallino, non per forza il punto medio.
ok ora ho capito tutto, ti ringrazio anche per il testo.
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