Interpretazione geometrica integrale complesso

[Ryuzaky*]

Qualcuno può spiegarmi come va interpretato l'integrale in campo complesso ? In campo reale in merito agli integrali curvilinei si faceva una distinzione in quelli di prima e di seconda specie con evidente interpretazione. Uno rappresentava l'area tra il grafico e la curva su cui poggiava e un altro come il lavoro lungo la curva. Ora in campo complesso definiamo ancora due tipi di integrali :

$\int_\gamma f(z) dz$
$\int_\gamma f(z) ds$

come andrebbero interpretati ?
grazie in anticipo

[gugo82]

Dato che \(f(z)=u(x,y)+\imath\ v(x,y)\) e che \(\text{d}z = \text{d}x +\imath\ \text{d}y\), hai:
\[
f(z)\ \text{d} z= \Big( u(x,y)\text{d}x -v(x,y)\ \text{d}y \Big)+\imath\ \Big( v(x,y)\text{d}x +u(x,y)\ \text{d}y \Big)
\]
quindi:
\[
\int_\gamma f(z)\ \text{d} z = \int_\gamma \Big( u(x,y)\text{d}x -v(x,y)\ \text{d}y \Big)+\imath\ \int_\gamma \Big( v(x,y)\text{d}x +u(x,y)\ \text{d}y \Big)
\]
ossia, l'integrale \(\int_\gamma f(z)\ \text{d} z\) coincide con il numero complesso che ha per parte reale \(\int_\gamma \Big( u(x,y)\text{d}x -v(x,y)\ \text{d}y \Big)\) e per coefficiente dell'immaginario \(\int_\gamma \Big( v(x,y)\text{d}x +u(x,y)\ \text{d}y \Big)\).
Darne un'interpretazione geometrica mi sembra poco probabile, in quanto calcolare \(\int_\gamma f(z)\ \text{d} z\) equivale a mettere insieme i "lavori" di due campi vettoriali distinti.

D'altra parte, dato che \(\text{d} s\) è reale, hai:
\[
\int_\gamma f(z)\ \text{d}s = \int_\gamma u(x,y)\ \text{d} s +\imath\ \int_\gamma v(x,y)\ \text{d} s
\]
ossia \(\int_\gamma f(z)\ \text{d}s\) è il numero complesso che ha come parte reale \(\int_\gamma u(x,y)\ \text{d} s\) e come coefficiente dell'immaginario \(\int_\gamma v(x,y)\ \text{d} s\).
Anche in questo caso, darne un'interpretazione geometrica mi sembra poco probabile, perchè si mettono insieme delle "aree" sottese a due funzioni diverse.

[Ryuzaky*]

Si, ma quello che non mi è chiaro è come "agisce" l'integrale. In verità ho trovato questo topic che mi ha fatto capire di non aver capito molto (purtroppo l'immagine allegata non c'è piu). Mi spiego meglio, in analisi due, prendendo gli integrali curvilinei per esempio, una volta capito come funzionava l'integrale, somma di tanti rettangolini sottesi al grafico poggianti sulla curva, ecc ecc si potevano intuire subito tutti i teoremi di routine (e a volte anche il risultato del'integrale a occhio), capire perche da una parte ci va un prodotto scalare, perche un'altra quello vettoriale, il significato di ascissa curvilinea ecc.

Ora questo non mi riesce in campo complesso. Prendiamo il th integrale di cauchy per esempio, mi è chiaro che l'integrale di $f(z)$ in $dz$ deve fare zero poichè considero campi conservativi e quindi l'integrale chiuso deve darmi zero (questo è cio che intendo con intuire il teorema ). Ma già andati un po oltre con la teoria non riesco piu a capire il senso di quello che scrivo. La formula integrale di cauchy per esempio, mi dice che :

$f(z_0)=1/(2\pi i) \int_{\partial D^+} \frac{f(z)}{z-z_0} dz$

A parte la dimostrazione, chiarissima, non capisco per cosa sta li quel $2\pi i$ e perchè al denominatore c'è quel $z-z_0$.
Penso che questa mia incapacità derivi dal fatto di non aver capito cosa significa questo integrale. Spero di essere stato comprensibile

[gugo82]

"Ryuzaky*":Si, ma quello che non mi è chiaro è come "agisce" l'integrale. In verità ho trovato questo topic che mi ha fatto capire di non aver capito molto (purtroppo l'immagine allegata non c'è piu). Mi spiego meglio, in analisi due, prendendo gli integrali curvilinei per esempio, una volta capito come funzionava l'integrale, somma di tanti rettangolini sottesi al grafico poggianti sulla curva, ecc ecc si potevano intuire subito tutti i teoremi di routine (e a volte anche il risultato del'integrale a occhio), capire perche da una parte ci va un prodotto scalare, perche un'altra quello vettoriale, il significato di ascissa curvilinea ecc.

Ora questo non mi riesce in campo complesso.

E grazie che non ti riesce... Come ho detto, non c'è un'interpretazione geometrica immediata degli integrali in campo complesso.

"Ryuzaky*":Prendiamo il th integrale di cauchy per esempio, mi è chiaro che l'integrale di $f(z)$ in $dz$ deve fare zero poichè considero campi conservativi e quindi l'integrale chiuso deve darmi zero (questo è cio che intendo con intuire il teorema ). Ma già andati un po oltre con la teoria non riesco piu a capire il senso di quello che scrivo. La formula integrale di cauchy per esempio, mi dice che :

$f(z_0)=1/(2\pi i) \int_{\partial D^+} \frac{f(z)}{z-z_0} dz$

A parte la dimostrazione, chiarissima, non capisco per cosa sta li quel $2\pi i$ e perchè al denominatore c'è quel $z-z_0$.
Penso che questa mia incapacità derivi dal fatto di non aver capito cosa significa questo integrale. Spero di essere stato comprensibile

Probabilmente non lo capisci perchè non ti sei mai andato a calcolare qualche integrale usando la definizione.

Ad esempio, prendi la funzione \(f(z):=1\) definita in \(\mathbb{C}\); per la formula integrale, sai che per ogni \(z_0\in \mathbb{C}\):
\[
1=f(z_0)=\frac{1}{2\pi \imath}\ \int_{|z-z_0|=r} \frac{f(z)}{z-z_0}\ \text{d} z =\frac{1}{2\pi \imath}\ \int_{|z-z_0|=r} \frac{1}{z-z_0}\ \text{d} z
\]
per \(r>0\), quindi dovrebbe essere:
\[
\int_{|z-z_0|=r} \frac{1}{z-z_0}\ \text{d} z = 2\pi\ \imath\; ...
\]
Prova a verificare l'ultima uguaglianza calcolando l'integrale "a mano", cioè usando la definizione di integrale complesso.

[Ryuzaky*]

"gugo82":
E grazie che non ti riesce... Come ho detto, non c'è un'interpretazione geometrica immediata degli integrali in campo complesso.

Ma allora cosa dice dissonance nel post che ho linkato ?

Si ho calcolato degli integrali con la definizione. Ho calcolato $1/(z-z_0)$ in $z_0=0$ e ho verificato, sono stati conti su conti, cosa dovevo capire da ciò ?
(So che $2\pi i$ è il salto che fanno alcune funzioni tipo il log, c'entra ? grazie per la pazienza )

[Ryuzaky*]

Ha senso vederla in questo modo :

$f(z_0)= \frac{\int_\gamma f(z) \frac{1}{z-z_0} dz}{\int_gamma \frac{1}{z-z_0} dz}$

e tenere conto dell'indipendenza dal raggio ?

[gugo82]

Mah, non mi sembrano tanti conti...

Hai:
\[
\begin{split}
\intop_{|z-z_0|=r} \frac{1}{z-z_0}\ \text{d} z &\stackrel{z=z_0+r\ e^{\imath\ \theta}}{=} \int_0^{2\pi} \frac{1}{e^{\imath\ \theta}}\ \imath\ e^{\imath\ \theta}\ \text{d} \theta \\
&= \imath\ \int_0^{2\pi}\text{d} \theta\\
&= 2\pi\ \imath\; .
\end{split}
\]

Per quanto riguarda quel che diceva dissonance, lì si strattava di interpretare l'integrale di una funzione complessa di variabile reale, il che è un po' diverso.

Per quanto riguarda il logaritmo, c'è un legame, ma non è semplicicssimo da spiegare; forse ti sarà mostrato più avanti.

Per la riscrittura della formula intergale in quel modo lì... Beh, non serve a nulla.

[Thomas16]

Forse quello che visivamente chiarisce di più è li legame tra i differenziali: $dz/z=i d\theta$..

In ogni caso mi incuriosisce il legame col logaritmo. E' noto che $d/dz(log(z))=1/z$. e integrando questa relazione con i
relativi limiti fatti bene (per rimanere sempre sullo stesso foglio) si dovrebbe ottenere una dimostrazione della formula di Cauchy.

La domanda è: fino a che punto questa sarebbe una dimostrazione alternativa? Fino a che punto invece si "mangia la coda"? ... mi viene il dubbio perchè queste formule sono sempre agli inizi dei libri di analisi complessa e quindi forse nella procedura con il logaritmo si usa qualcosa che richiede per essere dimostrata la formula stessa che vogliamo dimostrare...

[Ryuzaky*]

"gugo82":Mah, non mi sembrano tanti conti...

Questa risoluzione è quella che si usa nella dimostrazione, io ho risolto con x+iy..

"gugo82":Per quanto riguarda il logaritmo, c'è un legame, ma non è semplicicssimo da spiegare; forse ti sarà mostrato più avanti.

Abbiamo fatto le formule di Cauchy, teorema della media, Liouville, Goursat, Morera, Th fondamentale dell'algebra e residui. Adesso si comincia con le serie di fourier, possibile che sia tutto qui ?

ho aspettato si concludesse questa prima parte per fare il punto ma niente.. non capisco perchè c'è quel $2\pi i$ e perche nell'integrale la $f(z)$ è divisa per $(z-z_0)$.. Penso che prima di formulare il teorema cauchy abbia "visualizzato" qualcosa che continuo a non vedere :/

Per quanto riguarda il legame tra i differenziali mi è chiaro, ma concettualmente non capisco come e perche sfrutta questa cosa

[gugo82]

"Ryuzaky*":Abbiamo fatto le formule di Cauchy, teorema della media, Liouville, Goursat, Morera, Th fondamentale dell'algebra e residui. Adesso si comincia con le serie di fourier, possibile che sia tutto qui ?

Quell che ti serve, sì, è tutto lì... Forse vi sarebbe importante approfondire le proprietà delle funzioni armoniche in \(\mathbb{R}^2\), però.
Ciò che avete lasciato fuori è la "teoria geometrica delle funzioni" (e.g, il cosiddetto Riemann mapping theorem e sue estensioni) e la "teoria dell'approssimazione" (e.g, il teorema di Runge e le sue estensioni), ma questa roba non credo vi serva a nulla nella vita.

"Ryuzaky*":ho aspettato si concludesse questa prima parte per fare il punto ma niente.. non capisco perchè c'è quel $2\pi i$ e perche nell'integrale la $f(z)$ è divisa per $(z-z_0)$.. Penso che prima di formulare il teorema cauchy abbia "visualizzato" qualcosa che continuo a non vedere :/

Mmmm... Sulla storia e le vicissitudini del teorema integrale non ho mai letto nulla: mi informerò.

Ad ogni modo, non so cosa tu voglia capire di più di quanto tu abbia già capito.
Insomma, per quel che sai finora, la costante \(2\pi\ \imath\) ci sta per far tornare i conti e la divisione per \(z-z_0\) è necessaria, altrimenti l'integrale \(\int_{|z-z_0|=r} f(z)\ \text{d} z\) sarebbe nullo (per il Teorema Integrale di Cauchy) e non uguale ad \(f(z_0)\).

Tuttavia, c'è qualcosa di più profondo nella formula integrale di Cauchy: infatti, a ben vedere, la formula è una diretta conseguenza di una importante PDE (!).
Cerco di chiarire.
Approfondendo un po' di più le proprietà delle funzioni armoniche (i.e., le funzioni che in un dominio soddisfano l'equazione di Laplace \(\Delta \phi=0\)), uno trova che una funzione armonica \(\phi\) gode della seguente proprietà del valor medio (sulle circonferenze):
\[
\tag{MVP}
\begin{split}
\phi (x_0,y_0) &= \frac{1}{2\pi\ r}\ \int_{\partial B(x_0,y_0;r)} \phi (x,y)\ text{d} s\\
&= \frac{1}{2\pi}\ \int_0^{2\pi} \phi (x_0+r\cos \theta, y_0+r\sin \theta)\ \text{d} \theta
\end{split}
\]
ove \((x_0,y_0)\) è un punto interno al dominio di armonicità di \(\phi\) ed \(r>0\) è sufficientemente piccolo, di modo che \(\overline{B}(x_0,y_0;r)\) sia interna al dominio in cui \(\phi\) è armonica.
La cosa davvero interessante della (MVP) è che essa deriva dal semplice fatto che \(\phi\) risolve equazione di Laplace (si prova con un trucco molto semplice, nel caso \(\phi\) sia \(C^2\)... E lo è, per la teoria della regolarità ellittica!).

Ora, dalla teoria delle funzioni olomorfe, sai che la parte reale \(u(x,y)\) ed il coefficiente della parte immaginaria \(v(x,y)\) di una funzione \(f(z)\) olomorfa in \(\Omega\) sono funzioni armoniche in \(\Omega\). Pertanto, comunque fissi \(z_0=x_0+\imath\ y_0\) interno ad \(\Omega\) e comunque scegli \(r>0\) sufficientemente piccolo, le \(u\) e \(v\) soddisfano la (MVP) e perciò si ha:
\[
\begin{split}
f(z_0) &= u(x_0,y_0)+\imath\ v(x_0,y_0)\\
&= \frac{1}{2\pi}\ \int_0^{2\pi} u (x_0+r\cos \theta, y_0+r\sin \theta)\ \text{d} \theta + \imath\ \frac{1}{2\pi}\ \int_0^{2\pi} v (x_0+r\cos \theta, y_0+r\sin \theta)\ \text{d} \theta\; ;
\end{split}
\]
smanettando un po' con gli integrali all'ultimo membro, si vede che:
\[
\begin{split}
f(z_0) &= \imath\ \frac{1}{2\pi\ \imath}\ \int_0^{2\pi} u (x_0+r\cos \theta, y_0+r\sin \theta)\ \text{d} \theta - \frac{1}{2\pi\ \imath}\ \int_0^{2\pi} v (x_0+r\cos \theta, y_0+r\sin \theta)\ \text{d} \theta\\
&= \frac{1}{2\pi\ \imath}\ \int_0^{2\pi} \Big( u (x_0+r\cos \theta, y_0+r\sin \theta) +\imath\ v (x_0+r\cos \theta, y_0+r\sin \theta)\Big)\ \imath\ \text{d} \theta\\
&= \frac{1}{2\pi\ \imath}\ \int_0^{2\pi} \frac{u (x_0+r\cos \theta, y_0+r\sin \theta) +\imath\ v (x_0+r\cos \theta, y_0+r\sin \theta)}{r\ (\cos \theta +\imath\ \sin \theta)}\ \Big(\imath\ r\ (\cos \theta +\imath\ \sin \theta)\Big)\ \text{d} \theta\\
&= \frac{1}{2\pi \imath}\ \int_0^{2\pi} \frac{f(z_0+re^{\imath\ \theta})}{r\ e^{\imath\ \theta}} (\imath\ re^{\imath\ \theta})\ \text{d} \theta\\
&\stackrel{z=z_0+re^{\imath\ \theta}}{=} \frac{1}{2\pi \imath}\ \int_{|z-z_0=r|} \frac{f(z)}{z-z_0}\ \text{d} z
\end{split}
\]
che è la formula integrale di Cauchy.

Quindi, la validità e la "forma" della formula integrale di Cauchy (i.e., il suo aspetto, ivi comprese la costante di normalizzazione \(2\pi\ \imath\) e la moltiplicazione dell'integrando per \((z-z_0)^{-1}\)) dipendono essenzialmente dal fatto che la parte reale ed il coefficiente dell'immaginario di una funzione olomorfa soddisfano l'equazione di Laplace e, quindi, la proprietà di media (MVP).

"Ryuzaky*":Per quanto riguarda il legame tra i differenziali mi è chiaro, ma concettualmente non capisco come e perche sfrutta questa cosa

Quella relazione è banale: equivale a fare un cambiamento di variabile in un integrale tradizionale...
Non c'è nulla di misterioso sotto, se non che la notazione complessa ti consente di far di conto in modo molto veloce con gli integrali curvilinei (infatti tu hai riempito un pagina di conti espliciti per arrivare, in un caso molto particolare, alla stessa conlusione cui sono arrivato io nel caso generale).

[Ryuzaky*]

ECCO ! Qualche post più su avevo scritto la formula di cauchy in quel modo perche mi ricordava il valore medio di un qualcosa che, su un intorno molto piccolo potevo ritenere essere uguale al valore della funzione ! Ma non sapevo che le funzioni armoniche avessero questa proprietà, credo mi convenga approfondire queste. Lo dico con presunzione, ma a questo punto il teorema lo potevo anche fare io Cmq grazie mille.

E per quanto riguarda l'integrale di funzione complessa in variabile reale invece ? si può dare qualche interpretazione ?

[gugo82]

Per quanto riguarda la (MVP), la dimostrazione è molto semplice se assumi come "ipotesi" il fatto che una funzione armonica sia almeno \(C^2\).

In particolare, vale il teorema che segue:

Siano \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) un dominio aperto, e \(\phi \in C^2(\Omega)\) tal che \(\Delta \phi =0\) in \(\Omega\).
Comunque si scelga \(z_0=(x_0,y_0)\in \Omega\), per ogni \(r\in ]0, \operatorname{dist} (z_0,\partial \Omega)[\) si ha:
\[
\tag{MVP}
\begin{split}
\phi (x_0,y_0) &= \frac{1}{2\pi\ r}\ \int_{\partial B(z_0;r)} \phi\ \text{d} \sigma \\
&= \frac{1}{2\pi}\ \int_0^{2\pi} \phi (x_0+r\cos \theta ,y_0+r\sin \theta)\ \text{d} \theta.
\end{split}
\]

Dim.: (spoilerizzo, così puoi provare da te... Non è difficile.)

Per acquisire la tesi occorre e basta mostrare che la funzione:
\[
\Phi (r):= \frac{1}{2\pi}\ \int_0^{2\pi} \phi (x_0+r\cos \theta ,y_0+r\sin \theta)\ \text{d} \theta\; ;
\]
è costante in \([0,\operatorname{dist} (z_0,\partial \Omega)[\) e che essa è identicamente uguale a \(\phi (z_0)\).

Passo 1. \(\Phi\) è costante.
La \(\Phi\) è un integrale dipendente da un parametro mediante una funzione \(C^2\), quindi essa è una funzione \(C^2 (]0,\operatorname{dist}(z_0,\partial \Omega)[)\) e le sue derivate possono essere calcolate derivando sotto integrale.
Si ha:
\[
\begin{split}
\Phi^\prime (r) &= \frac{1}{2\pi}\ \int_0^{2\pi} \Big( \phi_x (x_0+r\cos \theta ,y_0+r\sin \theta)\ \cos \theta +\phi_y(x_0+r\cos \theta ,y_0+r\sin \theta)\ \sin \theta\Big)\ \text{d} \theta\\
&= \frac{1}{2\pi\ r}\ \int_0^{2\pi} \Big( \phi_x (x_0+r\cos \theta ,y_0+r\sin \theta)\ r\cos \theta +\phi_y(x_0+r\cos \theta ,y_0+r\sin \theta)\ r\sin \theta\Big)\ \text{d} \theta\; ;
\end{split}
\]
ma l'ultimo integrando altro non è che la derivata normale di \(\phi\) sulla frontiera del cerchio \(B(z_0;r)\), quindi:
\[
\Phi^\prime (r) = \frac{1}{2\pi\ r} \int_{\partial B(z_0;r)} \frac{\partial \phi}{\partial \nu}\ \text{d} \sigma\; .
\]
Applicando il Teorema della Divergenza, si trova:
\[
\Phi^\prime (r) = \frac{1}{2\pi\ r} \int_{B(z_0;r)} \Delta \phi\ \text{d} x\text{d} y =0\; ,
\]
quindi la funzione \(\Phi\) è costante in \([0,\operatorname{dist}(z_0,\partial \Omega)[\).

Passo 2. \(\Phi (r)=\phi (z_0)\) identicamente.
Mostriamo che \(\Phi (r)-\phi (z_0)=0\) per ogni \(r\in [0,\operatorname{dist} (z_0,\partial \Omega)[\).
Abbiamo:
\[
\begin{split}
\phi (z_0) &= \frac{1}{2\pi} \Big( 2\pi\ \phi (z_0)\Big)\\
&= \frac{1}{2\pi}\ \int_0^{2\pi} \phi (z_0)\ \text{d} \theta
\end{split}
\]
quindi:
\[
\Phi (r)-\phi (z_0) = \frac{1}{2\pi}\ \int_0^{2\pi} \Big( \phi (x_0+r\cos \theta, y_0+r\sin \theta) -\phi (x_0,y_0)\Big)\ \text{d}\theta
\]
e, per la disuguaglianza triangolare:
\[
\tag{1}
|\Phi (r)-\phi (z_0)| \leq \frac{1}{2\pi}\ \int_0^{2\pi} \Big| \phi (x_0+r\cos \theta, y_0+r\sin \theta) -\phi (x_0,y_0)\Big|\ \text{d}\theta\; .
\]
Ora, la funzione \(\phi\) è continua in \(\Omega\): pertanto, la sua restrizione ad una pallina chiusa \(\overline{B}(z_0;\bar{r})\) di centro \(z_0=(x_0,y_0)\) e raggio sufficientemente piccolo \(\bar{r}\) è uniformemente continua. Fissato \(\varepsilon >0\), è possibile allora determinare un numero \(0<\delta <\bar{r}\) tale che per ogni coppia di punti \(z=(x,y),\zeta =(\xi, \eta) \in \overline{B}(z_0;\bar{r})\) risulti:
\[
|z-\zeta|\leq \delta \quad \Rightarrow \quad |\phi (z)-\phi (\zeta)|\leq \varepsilon\; ;
\]
in particolare, fissato \(\zeta=(x_0,y_0)\) e scelto \(z=(x_0+r\cos \theta, y_0+r\sin \theta)\), la precedente si riscrive:
\[
r\leq \delta \quad \Rightarrow \quad |\phi (x_0+r\cos \theta ,y_0+r\sin \theta) - phi (x_0,y_0)|\leq \varepsilon
\]
con la seconda disuguaglianza che vale uniformemente rispetto a \(\theta\), quindi:
\[
\tag{2}
r\leq \delta \quad \Rightarrow \quad \max_{\theta \in [0,2\pi]} |\phi (x_0+r\cos \theta ,y_0+r\sin \theta) - phi (x_0,y_0)|\leq \varepsilon\; .
\]
Conseguentemente, preso \(r\leq \delta\), da (1) e (2) segue:
\[
\begin{split}
|\Phi (r)-\phi (z_0)| &\leq \frac{1}{2\pi}\ \left( \max_{\theta \in [0,2\pi]} |\phi (x_0+r\cos \theta ,y_0+r\sin \theta) - phi (x_0,y_0)|\right)\ \int_0^{2\pi} \text{d} \theta\\
& = \max_{\theta \in [0,2\pi]} |\phi (x_0+r\cos \theta ,y_0+r\sin \theta) - phi (x_0,y_0)|\\
&\leq \varepsilon
\end{split}
\]
e perciò:
\[
\lim_{r\to 0^+} \Phi (r) -\phi (z_0)=0\; .
\]
Dato che \(\Phi (r)\) è costante, si ha \(\Phi (r)=\phi (z_0)\) per ogni \(r\in [0,\operatorname{dist}(z_0,\partial \Omega)[\), che è la tesi. \(\square\)

La cosa interessante è che le funzioni armoniche godono anche di una seconda proprietà di media, la seguente:

Siano \(\Omega\) e \(\phi\) come sopra.
Comunque si fissi \(z_0=(x_0,y_0)\in \Omega\), per ogni \(r\in ]0,\operatorname{dist}(z_0,\partial \Omega)[\) si ha:
\[
\begin{split}
\phi (x_0,y_0) &= \frac{1}{\pi\ r^2}\ \int_{B(z_0;r)} \phi (x,y)\ \text{d}x \text{d}y\\
&= \frac{1}{\pi\ r^2}\ \int_0^r \int_0^{2\pi} \phi (x_0+\rho \cos \theta,y_0+\rho \sin \theta)\ \rho\ \text{d}\rho \text{d}\theta\; .
\end{split}
\]

che discende in maniera immediata dalla (MVP) provata in precedenza.

Se non assumessi "a priori" che una funzione armonica sia \(C^2\), le cose si potrebbero complicare un po'.
Tuttavia, un potentissimo teorema di regolarità ti assicura che le soluzioni deboli dell'equazione di Laplace sono in realtà regolarissime dentro l'aperto in cui soddisfano l'equazione: in particolare, sono \(C^2\)... E perciò tutto fila liscio!

[Ryuzaky*]

Grazie mille, chiarissimo ed esaustivo
Già che ci sono ne approfitto per fare una domanda OT (vorrei unire un po di matematica alla fisica).
In alcuni problemi di calcolo del potenziale risolti tramite l'eq. di Laplace il libro mi porta delle formule note a seconda delle varie simmetrie; ad esempio per le sferiche ho :

$\nabla^2 \psi = 1/r^2 \frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial \psi}{\partial r}) + \frac{1}{r^2 sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin\theta \frac{\partial \psi}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2sin^2\theta}\frac{\partial^2\psi}{\partial \vartheta^2}$

con $\psi=\psi_{(r,\theta,\vartheta)}$

poi ho quelle cilindriche e cartesiane. Ora volevo capire un po il ragionamento necessario per tirarle fuori grazie ancora per l'aiuto.

[gugo82]

Nei conti si devono usare esplicitamente la trasformazione di coordinate, il teorema di derivazione della funzione composta ed altre "zozzerie" varie ed eventuali (a seconda dei casi).

Ad esempio, qui ho fatto i conti in coordinate cilindriche; mutatis mutandis, in coordinate polari i conti sono pressoché identici.

[Ryuzaky*]

Grazie mille