Interpretazione di un risultato
Salve a tutti,
la problematica consiste nell'interpretazione di un risultato del libro con il mio, cioè non riesco a vedere se sono equivalenti.
Il problema è: Integrare la seguente equazione differenziale
$(1/t^2+3y^2/t^4)dt=2y/t^3dy$
Allora, il dominio di definizione è $T={(t,y) : t\ne0}$
Osservo che essendo il dominio $T$ "regolare sufficientemente" essendo chiusa è localmente esatta in $T$.
Allora scelgo $(t_0,y_0)=(1,0)\inT$
e trovo un potenziale:
$F(t,y)=\int_1^t1/s^2ds+\int_0^y-2s/t^3ds=1-1/t-1/t^3y^2$
E, quindi, concludo che l'integrale generale dell'equazione è la famiglia di funzioni definite implicitamente da:
$F(t,y)=c$, con $c\in\mathbb{R} $
La soluzione del libro è:
$t^2+y^2=ct^3$ , con $c\in\mathbb{R}-{0} $
Ora, perché toglie lo zero?
Ed è lecito trovare il potenziale per un punto $(t_0,y_0)\neT?$
Vi ringrazio per il tempo
la problematica consiste nell'interpretazione di un risultato del libro con il mio, cioè non riesco a vedere se sono equivalenti.
Il problema è: Integrare la seguente equazione differenziale
$(1/t^2+3y^2/t^4)dt=2y/t^3dy$
Allora, il dominio di definizione è $T={(t,y) : t\ne0}$
Osservo che essendo il dominio $T$ "regolare sufficientemente" essendo chiusa è localmente esatta in $T$.
Allora scelgo $(t_0,y_0)=(1,0)\inT$
e trovo un potenziale:
$F(t,y)=\int_1^t1/s^2ds+\int_0^y-2s/t^3ds=1-1/t-1/t^3y^2$
E, quindi, concludo che l'integrale generale dell'equazione è la famiglia di funzioni definite implicitamente da:
$F(t,y)=c$, con $c\in\mathbb{R} $
La soluzione del libro è:
$t^2+y^2=ct^3$ , con $c\in\mathbb{R}-{0} $
Ora, perché toglie lo zero?
Ed è lecito trovare il potenziale per un punto $(t_0,y_0)\neT?$
Vi ringrazio per il tempo
Risposte
Probabilmente perché nell' equazione differenziale ci sono delle divisioni per $t$ ed allora pone che $t$ sia diverso da zero affinché sia lecito dividere per $t$ , altrimento non saprei.
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