Interpretazione derivata direzionale normale
Buongiorno, ho un problema a capire il concetto di derivata normale, e credo questo derivi da una certa confusione sull'interpretazione geometrica del gradiente.
Ragiono con funzioni $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ per fissare le idee, anche se poi i concetti mi servono in senso più generale.
Quello che ho capito è che il gradiente, che è il vettore delle derivate parziali di una funzione, identifica in ogni punto del grafico un piano tangente al grafico stesso. Posso allora considerare il vettore $(\partial_x f, \partial_y f, -1)$ come il gradiente, che è quindi un vettore normale al grafico di $f$.
Ma allora, che senso ha il concetto di derivata direzionale normale? So che una derivata direzionale si calcola come $\partial_v f= \grad f \cdot v$, ma se ho che $v$ è normale a $f$, e lo è anche $\grad f$, che senso ha fare questo prodotto scalare?
Mi era venuto il dubbio che il gradiente andasse interpretato come vettore tangente a $f$, ma in quel caso è pure peggio perchè il prodotto scalare tra gradiente e vettore normale sarebbe nullo.
Non capisco dove sbaglio nel ragionamento, vi sarei grato anche solo se mi indirizzaste verso qualche libro che parla dell'argomento magari da un punto di vista geometrico.
Grazie mille in anticipo
Ragiono con funzioni $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ per fissare le idee, anche se poi i concetti mi servono in senso più generale.
Quello che ho capito è che il gradiente, che è il vettore delle derivate parziali di una funzione, identifica in ogni punto del grafico un piano tangente al grafico stesso. Posso allora considerare il vettore $(\partial_x f, \partial_y f, -1)$ come il gradiente, che è quindi un vettore normale al grafico di $f$.
Ma allora, che senso ha il concetto di derivata direzionale normale? So che una derivata direzionale si calcola come $\partial_v f= \grad f \cdot v$, ma se ho che $v$ è normale a $f$, e lo è anche $\grad f$, che senso ha fare questo prodotto scalare?
Mi era venuto il dubbio che il gradiente andasse interpretato come vettore tangente a $f$, ma in quel caso è pure peggio perchè il prodotto scalare tra gradiente e vettore normale sarebbe nullo.
Non capisco dove sbaglio nel ragionamento, vi sarei grato anche solo se mi indirizzaste verso qualche libro che parla dell'argomento magari da un punto di vista geometrico.
Grazie mille in anticipo
Risposte
Il problema è dimensionale.
Detto rozzamente, il vettore $nabla f$ ha due componenti, quindi non può stare in uno spazio tangente ad un oggetto immerso in $RR^3$.
Detto rozzamente, il vettore $nabla f$ ha due componenti, quindi non può stare in uno spazio tangente ad un oggetto immerso in $RR^3$.
Ma allora che senso ha la scrittura $\grad f \cdot v$, se le dimensioni dei vettori non coincidono? Ho capito male e anche il vettore normale alla funzione in realtà ha due componenti?
Sto studiando il tutto nell'ambito delle funzioni armoniche, e la loro caratterizzazione attraverso la media, se può servire
Sto studiando il tutto nell'ambito delle funzioni armoniche, e la loro caratterizzazione attraverso la media, se può servire
Beh, dovresti essere più preciso e dare un po' più di contesto.
Usualmente, la derivata normale che si usa in quelle dimostrazioni lì è la derivata direzionale della funzione fatta lungo la normale a qualche curva (se nel piano) o a qualche superficie (se nello spazio) particolare, ad esempio circonferenze o sfere.
Usualmente, la derivata normale che si usa in quelle dimostrazioni lì è la derivata direzionale della funzione fatta lungo la normale a qualche curva (se nel piano) o a qualche superficie (se nello spazio) particolare, ad esempio circonferenze o sfere.
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