Interpretazione della trasformata fourier
Salve a tutti,
sono uno studente di Ingegneria di un nuovo ordinamento che, dovendo ridurre i programmi per adeguarli alle nuove poche ore di lezione per ogni corso, pensa bene (in molti casi) di tralasciare introduzioni e spiegazioni per passare direttamente al più interessante "come si fa".
Tuttavia adesso, pur sapendo trasformare e antitrasformare con Fourier una qualunque funzione (convergente sarebbe meglio
) ho ancora difficoltà a visualizzare e capire cosa sto facendo.
In particolare, per il mio corso di studi, mi interessano le trasformate di Fourier di segnali (ad esempio sinc rect ...).
Che cosa avviene però quando "li trasformo nel dominio della frequenza"? Ottengo una funziona complessa X(f) visualizzabile in due grafici uno ampiezza del modulo/frequenza e l'altro fasi/frequenza.
Ma cosa vuol dire che ad esempio per la frequenza di 1Khz il modulo della trasformata di forurier vale ad esempio 15? Sia forse la somma delle armoniche elementari necessarie per riprodurre il segnale (secondo il teorema di Fourier) per quella data frequenza?
E per le fasi? Cosa rappresentano loro? (sicuramente qualcosa di poco utile dato che non le usiamo mai...).
Ripeto che gli esercizi che mi servono li so risolvere ma mi interessava una spiegazione, anche solo discorsiva.
Grazie,
Lorenzo
sono uno studente di Ingegneria di un nuovo ordinamento che, dovendo ridurre i programmi per adeguarli alle nuove poche ore di lezione per ogni corso, pensa bene (in molti casi) di tralasciare introduzioni e spiegazioni per passare direttamente al più interessante "come si fa".
Tuttavia adesso, pur sapendo trasformare e antitrasformare con Fourier una qualunque funzione (convergente sarebbe meglio
) ho ancora difficoltà a visualizzare e capire cosa sto facendo.In particolare, per il mio corso di studi, mi interessano le trasformate di Fourier di segnali (ad esempio sinc rect ...).
Che cosa avviene però quando "li trasformo nel dominio della frequenza"? Ottengo una funziona complessa X(f) visualizzabile in due grafici uno ampiezza del modulo/frequenza e l'altro fasi/frequenza.
Ma cosa vuol dire che ad esempio per la frequenza di 1Khz il modulo della trasformata di forurier vale ad esempio 15? Sia forse la somma delle armoniche elementari necessarie per riprodurre il segnale (secondo il teorema di Fourier) per quella data frequenza?
E per le fasi? Cosa rappresentano loro? (sicuramente qualcosa di poco utile dato che non le usiamo mai...).
Ripeto che gli esercizi che mi servono li so risolvere ma mi interessava una spiegazione, anche solo discorsiva.
Grazie,
Lorenzo
Risposte
caro Lorenzo
prima di tutto bentornato sul forum!… è più che giustificato il tuo interesse per la Traformata di Fourier, dal momento che in essa sta il fondamento delle moderne tecniche di comunicazione e di trattamento di segnali. Se sei desideroso di approfondire l’argomento posso consigliarti di consultare il seguente ottimo indirizzo… http://www.math.ohio-state.edu/~gerlach ... tml
Esso affronta l’argomento in maniera un poco ‘inusuale’ ma a mio parere assai efficace. Un aspetto un poco singolare riguarda le stesse definizioni di trasformata e antitrasformata, perfettamente ‘simmetriche’, che sono le seguenti:
F(k) = 1/sqr(2*pi) Int [-00 < t < +00] f(t) *e^(-j*k*t) dt [1]
f(t) = 1/sqr(2*pi) Int [-00 < k < +00] F(k) *e^(j*k*t) dk [2]
Dal momento che, in base alla stessa definizione, la Traformata di Fourier produce una funzione complessa [avente cioè una parte reale e una parte immaginaria] essa è necessariamente definita oltre che dal modulo anche dalla fase. In effetti la [1] può essere considerata come la somma di due integrali…
F(k) = 1/sqr(2*pi) * [Int [-00 < t < +00] f(t)*cos (k*t) dt - j * Int [-00 < t < +00] f(t)*sin (k*t) dT ] [3]
… dove appiano distinte parte reale e parte immaginaria della F(k). L’importanza della fase si può chiaramente comprendere osservando proprio la [3]. Se f(t) è una funzione ‘pari’ [ossia f(t)=f(-t)] allora la F(k) si ridurrà alla sola parte reale, se f(t) è invece una funzione ‘dispari’ [ossia f(t)=-f(-t)] allora F(k) si ridurrà alla sola parte immaginaria.
Per darti un esempio di quanto questa differenza sia significativa proviamo a considerare due funzioni nel dominio della frequenza che hanno lo stesso modulo ma argomento differente e facciamone la antitrasformata [in maniera ‘classica’ però…]. La prima ti sarà assai familiare …
Fi(k)= 1 per |k| < pi, 0 per |k| > pi [3]
fi(t) = 1/(2*pi) / Int [-pi < k < pi] e^ (j*k*t) dk = sin (pi*t)/(pi*t) [4]
... la seconda forse un pò meno…
Fq(k) = -j * sgn (k) per |k|< pi, 0 per |k|> pi [5]
Essa è uguale in modulo alla prima, ma rispetto ad essa è ‘sfasata’ di –pi/2 ed usualmente è chiamata la ‘trasformata di Hilbert’ di Fi(k). Facciamone la trasformata inversa…
Fq(t) = 1/(2*pi) Int [-pi < k < pi] –j*sgn(k) * e(j*k*t) dk = [1-cos (pi*t)]/(pi*t) [5]
Le due funzioni fi(t) e fq(t) sono qui diagrammate [domando scusa se la grafica non è proprio eccezionale…].
E’ facile vedere che fi(t) è ‘pari’ [diciamo che è composta da ‘soli coseni’], mentre fq(t) è ‘dispari’ [diciamo che è composta di ‘soli seni’]. Simili coppie di funzioni temporali sono chiamate ‘coppie hilbertane’ e si prestano ad applicazioni assai interessanti nell’ambito della elaborazione di segnali.
Cordiali saluti a tutti!…
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 14/01/2003 09:57:34
prima di tutto bentornato sul forum!… è più che giustificato il tuo interesse per la Traformata di Fourier, dal momento che in essa sta il fondamento delle moderne tecniche di comunicazione e di trattamento di segnali. Se sei desideroso di approfondire l’argomento posso consigliarti di consultare il seguente ottimo indirizzo… http://www.math.ohio-state.edu/~gerlach ... tml
Esso affronta l’argomento in maniera un poco ‘inusuale’ ma a mio parere assai efficace. Un aspetto un poco singolare riguarda le stesse definizioni di trasformata e antitrasformata, perfettamente ‘simmetriche’, che sono le seguenti:
F(k) = 1/sqr(2*pi) Int [-00 < t < +00] f(t) *e^(-j*k*t) dt [1]
f(t) = 1/sqr(2*pi) Int [-00 < k < +00] F(k) *e^(j*k*t) dk [2]
Dal momento che, in base alla stessa definizione, la Traformata di Fourier produce una funzione complessa [avente cioè una parte reale e una parte immaginaria] essa è necessariamente definita oltre che dal modulo anche dalla fase. In effetti la [1] può essere considerata come la somma di due integrali…
F(k) = 1/sqr(2*pi) * [Int [-00 < t < +00] f(t)*cos (k*t) dt - j * Int [-00 < t < +00] f(t)*sin (k*t) dT ] [3]
… dove appiano distinte parte reale e parte immaginaria della F(k). L’importanza della fase si può chiaramente comprendere osservando proprio la [3]. Se f(t) è una funzione ‘pari’ [ossia f(t)=f(-t)] allora la F(k) si ridurrà alla sola parte reale, se f(t) è invece una funzione ‘dispari’ [ossia f(t)=-f(-t)] allora F(k) si ridurrà alla sola parte immaginaria.
Per darti un esempio di quanto questa differenza sia significativa proviamo a considerare due funzioni nel dominio della frequenza che hanno lo stesso modulo ma argomento differente e facciamone la antitrasformata [in maniera ‘classica’ però…]. La prima ti sarà assai familiare …
Fi(k)= 1 per |k| < pi, 0 per |k| > pi [3]
fi(t) = 1/(2*pi) / Int [-pi < k < pi] e^ (j*k*t) dk = sin (pi*t)/(pi*t) [4]
... la seconda forse un pò meno…
Fq(k) = -j * sgn (k) per |k|< pi, 0 per |k|> pi [5]
Essa è uguale in modulo alla prima, ma rispetto ad essa è ‘sfasata’ di –pi/2 ed usualmente è chiamata la ‘trasformata di Hilbert’ di Fi(k). Facciamone la trasformata inversa…
Fq(t) = 1/(2*pi) Int [-pi < k < pi] –j*sgn(k) * e(j*k*t) dk = [1-cos (pi*t)]/(pi*t) [5]
Le due funzioni fi(t) e fq(t) sono qui diagrammate [domando scusa se la grafica non è proprio eccezionale…].
E’ facile vedere che fi(t) è ‘pari’ [diciamo che è composta da ‘soli coseni’], mentre fq(t) è ‘dispari’ [diciamo che è composta di ‘soli seni’]. Simili coppie di funzioni temporali sono chiamate ‘coppie hilbertane’ e si prestano ad applicazioni assai interessanti nell’ambito della elaborazione di segnali.
Cordiali saluti a tutti!…
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 14/01/2003 09:57:34
Ciao Lupogrigio e scusa se non ti ho risposto subito.
Anzitutto grazie per la tua risposta, pero' quello che non ho (putroppo ancora) capito io e' PERCHE' si usa la trasformata del signor Fourier.
Per te che sei un ingegnere elettronico e delle telecomunicazioni (come saro' io un domani
) perche' ho bisogno di scompormi un segnale, gia' definito nel dominio del tempo, nel dominio della frequenza.
Perche' devo quante e in che modo le armoniche elementari complesse(dato che questo e' il significato di fourier a quanto so') mi ricostruiscono un segnale.
Le possibili interpretazioni a cui stavo pensando erano:
a) Alcuni parametri fisici dipendono dalla frequenza (ad esempio lo skin depth)
b) Per la ricostruzione dei signali uso degli oscillatori e con Fourier saprei come combinarli per ottenere il segnale voluto
...
oppure cos'altro?
Non bastava avere una classica rappresentazione nel dominio del tempo (intuitiva e razionale) lasciando in pace le armoniche complesse?
Grazie,
Lorenzo
Anzitutto grazie per la tua risposta, pero' quello che non ho (putroppo ancora) capito io e' PERCHE' si usa la trasformata del signor Fourier.
Per te che sei un ingegnere elettronico e delle telecomunicazioni (come saro' io un domani
) perche' ho bisogno di scompormi un segnale, gia' definito nel dominio del tempo, nel dominio della frequenza.Perche' devo quante e in che modo le armoniche elementari complesse(dato che questo e' il significato di fourier a quanto so') mi ricostruiscono un segnale.
Le possibili interpretazioni a cui stavo pensando erano:
a) Alcuni parametri fisici dipendono dalla frequenza (ad esempio lo skin depth)
b) Per la ricostruzione dei signali uso degli oscillatori e con Fourier saprei come combinarli per ottenere il segnale voluto
...
oppure cos'altro?
Non bastava avere una classica rappresentazione nel dominio del tempo (intuitiva e razionale) lasciando in pace le armoniche complesse?
Grazie,
Lorenzo
Ciao Lorenzo
anch'io lavoro nel campo delle Telecomunicazioni da alcuni anni, e ho potuto apprezzare l'aiuto della Trasformata di Fourier nella sintesi e risoluzione di alcuni problemi.
Circa i tuoi dubbi, voglio dirti che la rappresentazione di un segnale nel tempo e in frequenza sono equivalenti, è solo una RAPPRESENTAZIONE MATEMATICA. L'uso di una o l'altra è una scelta dettata dall'impiego che ne devi fare, talvolta è più "logico e razionale" usare la rappresentazione con armoniche complesse (frequenza).
Provo ad elencarti alcuni tipici problemi che si incontrano normalmente ed è più comodo afrontarli con la trasformata di Fourier.
L'elenco è sicuramente incompleto e Lupo Grigio ed altri potranno colmare.
1) FILTRI.
Nella sintesi di filtri sono state sviluppate alcune teorie per approsssimare la maschera IN FREQUENZA del filtro con particolari prodotti di funzioni facilmente realizzabili con componenti analogici (essenzialmente Condensatori e Induttori). Per utilizzare queste teorie devi costruire la maschera che ti serve partendo da una rappresentazione IN FREQUENZA del tuo segnale da filtrare.
2)DSP (Digital Signal Processing)
Nella Elaborazione Numerica dei Segnali, hai bisogno di decidere il periodo di campionamento (Tc)per discretizzare il tuo segnale continuo; Nyquist ha dimostrato che per rappresentare correttamente un segnale continuo mediante campioni distanti Tc è necessario che:
Tc <= 1/(2Bw) dove Bw è la banda di frequenza occupata dal senale analogico.
Ne segue che hai bisogno di conoscere Bw e quindi rappresentare il tuo segnale in Frequenza. Generalmente hai bisogno di filtrare (vedi punto 1) per limitare e fissare Bw.
3)DISTORZIONE (FEDELTA')
Immaginiamo di voler quantificare (misurare) la distorzione introdotta da un generico quadripolo (ad esempio un amplificatore).
Dobbiamo confrontare il segnale di ingresso Si(t) con il segnale di uscita So(t).
Generalmente siamo disposti ad accettare un ritardo to nel tempo e una variazione costante K nell'ampiezza.
Cioè : So(t)=KSi(t-to).
E' generalmente difficile valutare (ad esempio con un oscilloscopio) la percentuale di distorzione con una rappresentazione nel tempo.
Solo un 'occhio' esperto riesce a percepire distorzioni rilevanti (rilevanti dal punto di vista delle esigenze del sistema).
Passiamo alla rappresentazione in Frequenza:
se Si(w) <=> Si(t) si ha:
So(w) <=> KSi(w)exp(-wto)
Ora il problema è scisso in due parti: in ampiezza e fase che risultano più facilmente visualizzabili con una rappresentazione in frequenza.
Spero di essere stato chiaro, o almeno non ho contribuito ad aumentare i tuoi dubbi dato che gli esempi che ho illustrato sono molto tecnici.
Cerca di 'amare' la Trasformata di Fourier, sarà nella tua vita professionale una valida collaboratrice.
Ciao a tutti.
Ciao,
Giordano
anch'io lavoro nel campo delle Telecomunicazioni da alcuni anni, e ho potuto apprezzare l'aiuto della Trasformata di Fourier nella sintesi e risoluzione di alcuni problemi.
Circa i tuoi dubbi, voglio dirti che la rappresentazione di un segnale nel tempo e in frequenza sono equivalenti, è solo una RAPPRESENTAZIONE MATEMATICA. L'uso di una o l'altra è una scelta dettata dall'impiego che ne devi fare, talvolta è più "logico e razionale" usare la rappresentazione con armoniche complesse (frequenza).
Provo ad elencarti alcuni tipici problemi che si incontrano normalmente ed è più comodo afrontarli con la trasformata di Fourier.
L'elenco è sicuramente incompleto e Lupo Grigio ed altri potranno colmare.
1) FILTRI.
Nella sintesi di filtri sono state sviluppate alcune teorie per approsssimare la maschera IN FREQUENZA del filtro con particolari prodotti di funzioni facilmente realizzabili con componenti analogici (essenzialmente Condensatori e Induttori). Per utilizzare queste teorie devi costruire la maschera che ti serve partendo da una rappresentazione IN FREQUENZA del tuo segnale da filtrare.
2)DSP (Digital Signal Processing)
Nella Elaborazione Numerica dei Segnali, hai bisogno di decidere il periodo di campionamento (Tc)per discretizzare il tuo segnale continuo; Nyquist ha dimostrato che per rappresentare correttamente un segnale continuo mediante campioni distanti Tc è necessario che:
Tc <= 1/(2Bw) dove Bw è la banda di frequenza occupata dal senale analogico.
Ne segue che hai bisogno di conoscere Bw e quindi rappresentare il tuo segnale in Frequenza. Generalmente hai bisogno di filtrare (vedi punto 1) per limitare e fissare Bw.
3)DISTORZIONE (FEDELTA')
Immaginiamo di voler quantificare (misurare) la distorzione introdotta da un generico quadripolo (ad esempio un amplificatore).
Dobbiamo confrontare il segnale di ingresso Si(t) con il segnale di uscita So(t).
Generalmente siamo disposti ad accettare un ritardo to nel tempo e una variazione costante K nell'ampiezza.
Cioè : So(t)=KSi(t-to).
E' generalmente difficile valutare (ad esempio con un oscilloscopio) la percentuale di distorzione con una rappresentazione nel tempo.
Solo un 'occhio' esperto riesce a percepire distorzioni rilevanti (rilevanti dal punto di vista delle esigenze del sistema).
Passiamo alla rappresentazione in Frequenza:
se Si(w) <=> Si(t) si ha:
So(w) <=> KSi(w)exp(-wto)
Ora il problema è scisso in due parti: in ampiezza e fase che risultano più facilmente visualizzabili con una rappresentazione in frequenza.
Spero di essere stato chiaro, o almeno non ho contribuito ad aumentare i tuoi dubbi dato che gli esempi che ho illustrato sono molto tecnici.
Cerca di 'amare' la Trasformata di Fourier, sarà nella tua vita professionale una valida collaboratrice.
Ciao a tutti.
Ciao,
Giordano
Le mie congratutazioni caro Giordano!...
Sintesi perfetta delle applicazioni della Trasformata di Fourier alle tecniche di elaborazione di segnali, tanto analogiche quanto numeriche...
Non avrei certo potuto fare meglio...
cordiali saluti!...
lupo grigio
Sintesi perfetta delle applicazioni della Trasformata di Fourier alle tecniche di elaborazione di segnali, tanto analogiche quanto numeriche...
Non avrei certo potuto fare meglio...
cordiali saluti!...
lupo grigio
Ciao a tutti.
Avete messo in mostra (con grande chiarezza, tra l'altro) le applicazioni fisico-tecnologiche della trasformata di Fourier.
La trasformata di fourier è uno strumento utilissimo anche nell'Analisi e nel calcolo matematico.
Es: come calcolare l'integrale da -infinito a + infinito di
(sin(x)/x)^2? (Cito questo integrale perché mi è capitato di recente di doverlo calcolare nell'ambito della trattazione quantistica dell'atomo d'idrogeno, ma ci sono altri mille esempi simili!).
La trasformazione di fourier è una trasformazione che conserva la norma (un po' come una rotazione nello spazio euclideo conserva le distanze). Poiché la definizione di norma (al quadrato) di una funzione f(x) negli spazi funzionali utilizzati nella teoria della trasformazione di fourier (spazi di hilbert) è: integrale da -inf a + inf di [f(x)]^2, l'integrale che ho scritto sopra può essere visto come norma (al quadrato) della funzione sin(x)/x.
Ma, dal momento che la trasformazione di fourier conserva tale norma, possiamo calcolare tale integrale come norma della trasformata di fourier di sin(x)/x, che è un rettangolo.
L'integrale si riduce così all'integrale da -inf a + inf di un rettangolo al quadrato, calcolabile elementarmente.
sia pi = pigreco,
integrale( (sin(x)/x)^2 dx) = integrale( (pi*rect(pi*f))^2 dx)
(gli estremi sono - inf e + inf)
Il risulato è pigreco.
L'uguaglianza tra la norma di una funzione e di quella della sua trasformata di Fourier nello spazio di Hilbert (dotato della norma definita sopra) si chiama Teorema di Parseval.
goblyn
Avete messo in mostra (con grande chiarezza, tra l'altro) le applicazioni fisico-tecnologiche della trasformata di Fourier.
La trasformata di fourier è uno strumento utilissimo anche nell'Analisi e nel calcolo matematico.
Es: come calcolare l'integrale da -infinito a + infinito di
(sin(x)/x)^2? (Cito questo integrale perché mi è capitato di recente di doverlo calcolare nell'ambito della trattazione quantistica dell'atomo d'idrogeno, ma ci sono altri mille esempi simili!).
La trasformazione di fourier è una trasformazione che conserva la norma (un po' come una rotazione nello spazio euclideo conserva le distanze). Poiché la definizione di norma (al quadrato) di una funzione f(x) negli spazi funzionali utilizzati nella teoria della trasformazione di fourier (spazi di hilbert) è: integrale da -inf a + inf di [f(x)]^2, l'integrale che ho scritto sopra può essere visto come norma (al quadrato) della funzione sin(x)/x.
Ma, dal momento che la trasformazione di fourier conserva tale norma, possiamo calcolare tale integrale come norma della trasformata di fourier di sin(x)/x, che è un rettangolo.
L'integrale si riduce così all'integrale da -inf a + inf di un rettangolo al quadrato, calcolabile elementarmente.
sia pi = pigreco,
integrale( (sin(x)/x)^2 dx) = integrale( (pi*rect(pi*f))^2 dx)
(gli estremi sono - inf e + inf)
Il risulato è pigreco.
L'uguaglianza tra la norma di una funzione e di quella della sua trasformata di Fourier nello spazio di Hilbert (dotato della norma definita sopra) si chiama Teorema di Parseval.
goblyn
Errata Corrige: nell'integrale a secondo membro dell'uguaglianza che ho scritto ci va df e non dx
goblyn
goblyn
Vorrei solo aggiungere che la trasformata di Fourier ha mostruose applicazioni in tutti i campi dell'Analisi, e non sol della trasmissione dei segnali; ad esempio
- equazioni differenziali alle derivate parziali (problemi di fisica matematica)
- teoria dei semigruppi di operatori (grazie alla proprietà enunciata da goblyn, che conserva la norma), quindi studio degli asintoti di un sistema di evoluzione (spesso in problemi di diffusione)
In pratica: qualsiasi corso di analisi superiore ad analisi II si vada a studiare, siate pur sicuri che il signor Fourier avrà da dire la sua...
Ciao e grazie a tutti per le risposte!
Gia'! Il signor Fourier ha le mani in pasta un po' dovunque sono tre anni che lo sento davvero dappertutto ma solo adesso lo capisco "bene". Putroppo me l'hanno sempre presentato solo come "la trasformata di Fourier di X e' Y" dove Y rimaneva un concetto astratto e astruso legato in maniera matematica ad X e basta.
Approfitto allora della vostra disponibilita' per farvi un altra domanda.
La trasformata di Forurier e' un sistema per rappresentare il mio segnale (o comunque una funzione) come una serie di Armoniche complesse elementari ciascuna pesata in ampiezza e fase.
Queste armoniche elementari complesse, se non erro, dovrebbero essere del tipo
exp[Wo*t]=sin[Wo*t]+jcos[Wo*t]
Finche' si considera la parte reale "ci sto'", ma la parte complessa "non la capisco".
Il primo anno di Ingegneria, la prima volta che ho sentito parlare di numeri complessi applicati a segnali per rappresentarli, e' stato coi fasori. Attraverso un numero complesso si riesce infatti a determeninare una ampiezza (il modulo del numero complesso) e una fase (l'argomento del numero).
Ora: per fase si intende lo sfasamento cioe' la differenza in termini di radianti tra un segnale periodico ed un altro preso come confronto.
E il problema e' proprio qua.
Una generica armonica complessa e' sfasata di arg{sin[Wo*t]+jcos[Wo*t]} rispetto a cosa???
Che bisogno c'era di scomodare i numeri complessi? (dato che tantopiu' il coefficienti di Fourier sono complessi quindi hanno loro il compito di "controllare la fase")
Grazie per l'aiuto,
Lorenzo
Gia'! Il signor Fourier ha le mani in pasta un po' dovunque sono tre anni che lo sento davvero dappertutto ma solo adesso lo capisco "bene". Putroppo me l'hanno sempre presentato solo come "la trasformata di Fourier di X e' Y" dove Y rimaneva un concetto astratto e astruso legato in maniera matematica ad X e basta.
Approfitto allora della vostra disponibilita' per farvi un altra domanda.
La trasformata di Forurier e' un sistema per rappresentare il mio segnale (o comunque una funzione) come una serie di Armoniche complesse elementari ciascuna pesata in ampiezza e fase.
Queste armoniche elementari complesse, se non erro, dovrebbero essere del tipo
exp[Wo*t]=sin[Wo*t]+jcos[Wo*t]
Finche' si considera la parte reale "ci sto'", ma la parte complessa "non la capisco".
Il primo anno di Ingegneria, la prima volta che ho sentito parlare di numeri complessi applicati a segnali per rappresentarli, e' stato coi fasori. Attraverso un numero complesso si riesce infatti a determeninare una ampiezza (il modulo del numero complesso) e una fase (l'argomento del numero).
Ora: per fase si intende lo sfasamento cioe' la differenza in termini di radianti tra un segnale periodico ed un altro preso come confronto.
E il problema e' proprio qua.
Una generica armonica complessa e' sfasata di arg{sin[Wo*t]+jcos[Wo*t]} rispetto a cosa???
Che bisogno c'era di scomodare i numeri complessi? (dato che tantopiu' il coefficienti di Fourier sono complessi quindi hanno loro il compito di "controllare la fase")
Grazie per l'aiuto,
Lorenzo
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