Interpolazioni di una funzione con lagrange
Salve sto preparando l'esame per CALCOLO NUMERICO che in pratica è analisi applicata all'informatica.
Non ho ben capito come si arriva al polinomio fondamentale di Lagrange.
La spiegazione del professore è stata pari passo questa:
non riesco a capire la 4.5 e perchè dopo ci sono $c_k$ e una produttoria...è molto oscura questa spiegazione.
Non ho ben capito come si arriva al polinomio fondamentale di Lagrange.
La spiegazione del professore è stata pari passo questa:
non riesco a capire la 4.5 e perchè dopo ci sono $c_k$ e una produttoria...è molto oscura questa spiegazione.
Risposte
Mah...
Innanzitutto, sai che \(l_{nk}(x)\) è un polinomio; poi, dalla prima delle (4.1) segue che \(l_{nk}(x_i)=0\) per ogni $i != k$, cosicché:
\[
l_{nk}(x) = c_{nk}\cdot (x-x_1)\cdots (x-x_{k-1})\cdot (x-x_{k+1})\cdots (x-x_n) = c_{nk}\cdot \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} (x-x_i)
\]
con \(c_{nk}\in \mathbb{R}\) parametro direttore del polinomio $l_{nk}$; per determinare $c_{nk}$ (che è l'unica cosa rimasta da calcolare...) basta sfruttare la seconda delle (4.1), cioè \(l_{nk}(x_k)=1\), il che importa:
\[
c_{nk}\ \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} (x_k-x_i) = 1\quad \Rightarrow \qquad c_k = \frac{1}{\prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} (x_k-x_i)} = \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} \frac{1}{x_k-x_i}\; .
\]
Dunque:
\[
l_{nk}(x) = \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} \frac{1}{x_k-x_i}\cdot \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} (x-x_i) = \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} \frac{x-x_i}{x_k-x_i}\; .
\]
Innanzitutto, sai che \(l_{nk}(x)\) è un polinomio; poi, dalla prima delle (4.1) segue che \(l_{nk}(x_i)=0\) per ogni $i != k$, cosicché:
\[
l_{nk}(x) = c_{nk}\cdot (x-x_1)\cdots (x-x_{k-1})\cdot (x-x_{k+1})\cdots (x-x_n) = c_{nk}\cdot \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} (x-x_i)
\]
con \(c_{nk}\in \mathbb{R}\) parametro direttore del polinomio $l_{nk}$; per determinare $c_{nk}$ (che è l'unica cosa rimasta da calcolare...) basta sfruttare la seconda delle (4.1), cioè \(l_{nk}(x_k)=1\), il che importa:
\[
c_{nk}\ \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} (x_k-x_i) = 1\quad \Rightarrow \qquad c_k = \frac{1}{\prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} (x_k-x_i)} = \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} \frac{1}{x_k-x_i}\; .
\]
Dunque:
\[
l_{nk}(x) = \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} \frac{1}{x_k-x_i}\cdot \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} (x-x_i) = \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} \frac{x-x_i}{x_k-x_i}\; .
\]
Non vedo cosa ci sia da dimostrare, il polinomio di lagrange è quello e funziona, questo basta e avanza
"gugo82":
Mah...
Innanzitutto, sai che \(l_{nk}(x)\) è un polinomio; poi, dalla prima delle (4.1) segue che \(l_{nk}(x_i)=0\) per ogni $i != k$, cosicché:
\[
l_{nk}(x) = c_{nk}\cdot (x-x_1)\cdots (x-x_{k-1})\cdot (x-x_{k+1})\cdots (x-x_n) = c_{nk}\cdot \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} (x-x_i)
\]
con \(c_{nk}\in \mathbb{R}\) parametro direttore del polinomio $l_{nk}$; per determinare $c_{nk}$ (che è l'unica cosa rimasta da calcolare...) basta sfruttare la seconda delle (4.1), cioè \(l_{nk}(x_k)=1\), il che importa:
\[
c_{nk}\ \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} (x_k-x_i) = 1\quad \Rightarrow \qquad c_k = \frac{1}{\prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} (x_k-x_i)} = \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} \frac{1}{x_k-x_i}\; .
\]
Dunque:
\[
l_{nk}(x) = \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} \frac{1}{x_k-x_i}\cdot \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} (x-x_i) = \prod_{i=1,\ldots , n;\ i\neq k} \frac{x-x_i}{x_k-x_i}\; .
\]
ti ringrazio ora è più chiaro anche se il parametro direttore del polinomio non l'ho mai sentito nominare
"tuttomax":
[...] anche se il parametro direttore del polinomio non l'ho mai sentito nominare
Per questo esistono i libri (o google, se proprio non trovi un testo decente di Algebra)...
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