Interessante successione di funzioni

[Sk_Anonymous]

Non riesco a provare che vale il seguente: \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n}\frac{e^{-t} - e^{-xt}}{t} \; dt = \log (x) \]
Datemi, se potete, soltanto un input ( - a meno che la soluzione non richieda l'utilizzo di funzioni speciali come la gamma di Eulero).

Ringrazio.

[Rigel1]

Chiama \(F_n(x)\) l'argomento del limite. Puoi calcolare \(F_n'(x)\) usando il teorema di derivazione degli integrali dipendenti da parametro; sai inoltre che \(F_n(1) = 0\).

[Sk_Anonymous]

Ok, ci sono. Non conoscevo il teorema, ma mi sono subito informato. Posto \[\displaystyle F_{n}(x)=\int^{n}_{0} \frac{e^{-t} - e^{-xt}}{t} \; dt \qquad \text{e} \qquad f(x,t)=\frac{e^{-t} - e^{-xt}}{t} \] vale \[\displaystyle F \, '_{n}(x)=\int^{n}_{0} \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} \; dt=\int^{n}_{0} e^{-xt} \; dt=\left[ -\frac{e^{-xt}}{x} \right]^{n}_{0} =\frac{1 - e^{-nx}}{x} \] e passando al limite* per \(\displaystyle n \to \infty \) si ha \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} F\, '_{n} (x)=F \, ' (x) = \frac{1}{x} = \frac{d \, \log(x)}{d \, x} \]quindi ora so che \[\displaystyle F(x)=\int^{+\infty}_{0} \frac{e^{-t} - e^{-xt}}{t} \; dt =\log(x) + c \] infine vale \(\displaystyle F(1)=0=\log(1)+c \) da cui si deduce che \(\displaystyle c=0 \).

Può andare, Rigel?
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*Verificare di poterlo fare controllando la convergenza uniforme della successione delle derivate!

[Rigel1]

Devi giustificare il passaggio al limite nella successione delle derivate: per poter dire che \(F_n'\to F'\) hai bisogno che la successione \((F_n')\) converga uniformemente.
In questo caso la convergenza non è uniforme su \((0, +\infty)\), ma lo è su ogni semiretta del tipo \([a, +\infty)\) con \(a>0\); questo comunque basta per ottenere la relazione finale.

In modo equivalente, anziché passare al limite nella successione delle derivate puoi prima ricavare
\[
F_n(x) = F_n(1) + \int_1^x F_n'(t) \,dt = \log x - \int_1^x \frac{e^{-nt}}{t}\, dt, \qquad x>0,
\]
e poi passare al limite, osservando che per ogni \(x>0\) fissato la successione \(g_n(t) := e^{-nt}/t\) converge uniformemente alla funzione nulla nell'intervallo di estremi \(1\) e \(x\) (e dunque l'ultimo integrale tende a \(0\) per \(n\to +\infty\)).

[Sk_Anonymous]

"Rigel":Devi giustificare il passaggio al limite nella successione delle derivate: per poter dire che \(F_n'\to F'\) hai bisogno che la successione \((F_n')\) converga uniformemente.
In questo caso la convergenza non è uniforme su \((0, +\infty)\), ma lo è su ogni semiretta del tipo \([a, +\infty)\) con \(a>0\); questo comunque basta per ottenere la relazione finale. [...]

Sì scusa, lo studietto della convergenza uniforme me l'ero fatto in brutta... Non so perché, l'ho omesso dandolo per scontato. Per ora modifico il post con un monito ai lettori, mentre più tardi aggiungo lo studio esatto della convergenza uniforme. Grazie!