Interessante problema con le derivate
Un saluto a tuttivi propongo questo problema che mi è parso interessante e che non ho risolto in modo totale:
date due curve:
$y=\alpha x^2$ e $y=e^x$ trovare $\alpha$ tale che le due curve siano tangenti.
i miei vincoli sono questi:
$\alpha x^2 = e^x$ (ugualianza nel punto)
$2\alpha x = e^x$ (ugualinza delel derivate nel punto)
trovare le alpha da questo sistema mi è risultato sin da subito complicato. Quindi ho deciso di affrontare il problema a pezzi limitandone via via le condizioni su $\alpha$ se disegno la prima ho che per $\alpha\leq0$ non ho nessun punto di intersezione tra le due curve. Qundi le mie alpha saranno positive. Poi disegno il secondo vincolo trovo che ci potrebbero essere 2 valori di alpha che potrebbero andar bene ... però non riesco a dare limitazioni e non riesco a dire nulla di più di qunanto detto fin'ora. Se qualcuno vuol dire la sua, mi farebbe proprio piacere.
Un saluto.
date due curve:
$y=\alpha x^2$ e $y=e^x$ trovare $\alpha$ tale che le due curve siano tangenti.
i miei vincoli sono questi:
$\alpha x^2 = e^x$ (ugualianza nel punto)
$2\alpha x = e^x$ (ugualinza delel derivate nel punto)
trovare le alpha da questo sistema mi è risultato sin da subito complicato. Quindi ho deciso di affrontare il problema a pezzi limitandone via via le condizioni su $\alpha$ se disegno la prima ho che per $\alpha\leq0$ non ho nessun punto di intersezione tra le due curve. Qundi le mie alpha saranno positive. Poi disegno il secondo vincolo trovo che ci potrebbero essere 2 valori di alpha che potrebbero andar bene ... però non riesco a dare limitazioni e non riesco a dire nulla di più di qunanto detto fin'ora. Se qualcuno vuol dire la sua, mi farebbe proprio piacere.
Un saluto.
Risposte
La prima parte va bene, adesso che ne dici di uguagliare i primi membri delle equazioni? Poiché $alpha!=0$ si ottengono le soluzioni $x_1=0$ che non è accettabile e $x_2=2$ che dà $alpha=e^2/4$.
Dalle tue equazioni vedi subito che deve essere $\alpha\ne 0$.
Inoltre, hai che $\alpha x^2 = 2\alpha x$, cioè $x^2=2x$ (dovendo essere $\alpha\ne 0).
Hai quindi due possibilità: $x=0$, che escludi subito, oppure $x=2$, che risolve il sistema con $\alpha = e^2/4$.
Inoltre, hai che $\alpha x^2 = 2\alpha x$, cioè $x^2=2x$ (dovendo essere $\alpha\ne 0).
Hai quindi due possibilità: $x=0$, che escludi subito, oppure $x=2$, che risolve il sistema con $\alpha = e^2/4$.
io l'ho risolto ricavando l'ascissa del punto di tangenza dalle due condizioni quindi $ e^x / (2x) = e^2 / x^2 $ ovvero $x = 2$
poi ho semplicemente sostituito in una delle due ottenendo $ alpha = e^x / x^2 = e^2 / 4 $
poi ho semplicemente sostituito in una delle due ottenendo $ alpha = e^x / x^2 = e^2 / 4 $
wow 3 soluzioni nel giro di 2 minuti 
Non credo che le vostre risposte siano corrette. Avete trattato il problema come se fosse un semplice problema lineare!!! Ma non è così! Il sistema non è lineare. Se provate a risolverlo col metodo di newton potete accorgervi che ci sono ben 3 soluzioni. QUindi ci sono 3 valori di alpha che vanno bene, mentre voi ne proponete 1 solo!
Quindi non mi state convincendo. Il problema è più complicato del previsto ma penso sia riconducibile ad un forma abbastanza semplice per poterci fare dei conti a mano senza richiedere l'ausilio del mth. di newton. Anche perchè è un problema di una rivista di giochi matematici, quindi penso che sia pensato per poterci fare dei conti a mano...... ma la vostra soluzione, mi dispaice ma non mi convince. A meno che non mi facciate vedere che è assolutamente impeccabile dal punto di vista del rigore matematico.
Un saluto
Quindi non mi state convincendo. Il problema è più complicato del previsto ma penso sia riconducibile ad un forma abbastanza semplice per poterci fare dei conti a mano senza richiedere l'ausilio del mth. di newton. Anche perchè è un problema di una rivista di giochi matematici, quindi penso che sia pensato per poterci fare dei conti a mano...... ma la vostra soluzione, mi dispaice ma non mi convince. A meno che non mi facciate vedere che è assolutamente impeccabile dal punto di vista del rigore matematico.
Un saluto
Sono certa che tu abbia trovato 3 punti di intersezione tra la parabola e l'esponenziale, ma questa non significa che ci sono 3 valori di $alpha$ che verificano il problema. Nessuno di noi ha trattato il problema come se fosse lineare, prova ne è che tutti abbiamo usato un'equazione di secondo grado. L'unica "cosa" strana usata da tutti è la risoluzione dei sistemi con la sostituzione.
Questo sistema può ammettere fino a 3 soluzioni
$\{(y = alpha x^2),(y = e^x):}$
Questo, invece, risolto in $alpha$ e con la condizione $alpha!=0$ solo una
$\{(alpha x^2 = e^x),(2 alpha x = e^x):}$
Questo sistema può ammettere fino a 3 soluzioni
$\{(y = alpha x^2),(y = e^x):}$
Questo, invece, risolto in $alpha$ e con la condizione $alpha!=0$ solo una
$\{(alpha x^2 = e^x),(2 alpha x = e^x):}$
Mi dispiace che tu sia dispiaciuto 
Rimango in attesa di conoscere le altre soluzioni (ma ho il sospetto che dovrò attendere a lungo).
Rimango in attesa di conoscere le altre soluzioni (ma ho il sospetto che dovrò attendere a lungo).
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