Interessante esercizio sugli integrali definiti
Se la funzione $f(x)$ è continua in $[a;b]$, quale delle seguenti relazioni è corretta?
a. $|\int_a^b f(x) dx|<=\int_a^b|f(x)| dx$
b. $|\int_a^b f(x) dx|=\int_a^b|f(x)| dx$
c. $|\int_a^b f(x) dx|>=\int_a^b|f(x)| dx$
d. $|\int_a^b f(x) dx|=2\int_a^b|f(x)| dx$
Ho ragionato per esclusione poiché non sono riuscito a dimostrare direttamente la correttezza dell'affermazione giusta. Posto i miei ragionamenti per ottenere maggior conferma da voi.
In principio ho escluso le opzioni b. e d. attraverso questo procedimento: sia $F(x)$ una primitiva di $f(x)$; si ha che $|\int_a^b f(x) dx|=|F(b)-F(a)|$. Si consideri quindi un valore $c$ tale che $a
Ho rettamente ragionato?
Nel frattempo sto cercando di trovare una dimostrazione diretta della a..
Risposte
l'affermazione corretta è evidentemente
$|\int_a^b f(x) dx|<=\int_a^b|f(x)| dx$
che non è altro che la "diseguaglianza triangolare". Una possibile dimostrazione si potrebbe fare usando la definizione di integrale secondo Riemann, e sfruttando la diseguaglianza triangolare
$ |sum x_i| leq sum |x_i| $
$|\int_a^b f(x) dx|<=\int_a^b|f(x)| dx$
che non è altro che la "diseguaglianza triangolare". Una possibile dimostrazione si potrebbe fare usando la definizione di integrale secondo Riemann, e sfruttando la diseguaglianza triangolare
$ |sum x_i| leq sum |x_i| $
Dovrebbe essere così:
ovviamente $-|f| <= f <= |f|$
Usando la monotonia dell'integrale $- int_a^b |f(x)|dx <= int_a^b f(x) dx <= int_a^b |f(x)|dx$
cioè $ int_a^b |f(x)|dx >= | int_a^b f(x) dx | $.
ovviamente $-|f| <= f <= |f|$
Usando la monotonia dell'integrale $- int_a^b |f(x)|dx <= int_a^b f(x) dx <= int_a^b |f(x)|dx$
cioè $ int_a^b |f(x)|dx >= | int_a^b f(x) dx | $.
@Delirium: Come sai, per mostrare che una certa proposizione è falsa occorre mostrare un controesempio. Nel tuo caso, per mostrare che b, c, d non sussistono, conviene portare degli esempi concreti. Comincia col prendere un intervallo $[a, b]$ semplice, per esempio potresti pensare a $[-1, 1]$. Poi prova a vedere cosa succede con funzioni integrande semplici, come ad esempio la $f(x)=x$ che hai già considerato.
Il discorso che hai fatto con la $F$ è un po' oscuro e non è un esempio valido: chi ci garantisce che $F(a)-2F(c)+F(b)$ sia diverso da $|F(b)-F(a)|$? Per esempio, se $F(x)=0$, allora questa affermazione è falsa.
Il discorso che hai fatto con la $F$ è un po' oscuro e non è un esempio valido: chi ci garantisce che $F(a)-2F(c)+F(b)$ sia diverso da $|F(b)-F(a)|$? Per esempio, se $F(x)=0$, allora questa affermazione è falsa.
Secondo me puoi facilmente verificare che la prima è vera analizzando i casi in cui la funzione $f$ sia, nel dato intervallo, sempre positiva, sempre negativa, o in parte positiva ed in parte negativa [escludendo il caso banale in cui sia identicamente nulla] ed utilizzando l'interpretazione geometrica dell'integrale definito.
"Raptorista":E questo è, sostanzialmente, quanto ha fatto Seneca per via analitica.
Secondo me puoi facilmente verificare che la prima è vera analizzando i casi in cui la funzione $f$ sia, nel dato intervallo, sempre positiva, sempre negativa, o in parte positiva ed in parte negativa [escludendo il caso banale in cui sia identicamente nulla] ed utilizzando l'interpretazione geometrica dell'integrale definito.
@zerolucat: purtroppo le mie nozioni di analisi sono molto limitate giacché ancora non frequento l'università.
@Raptorista&Seneca: grazie, terrò a mente e proverò a sviluppare.
@dissonance: effettivamente, come dici tu, il mio discorso è un po' oscuro, e di conseguenza può essere frainteso.
La prima cosa che ho voluto dimostrare è che lo sviluppo analitico dei due termini a sinistra e a destra dell'uguale non conduce ad un'identità algebrica (cosa, credo, non assolutamente scontata); dopodiché ho però tirato le somme troppo rapidamente. Di fatto, come suggerisci, la bisettrice del primo e del terzo quadrante verifica le relazioni a cui sono pervenuto e costituisce pertanto un controesempio alle affermazioni prese in esame.
Quanto poi alla c., sembra palese che $1/2 a^2 + 1/2 b^2 >= |1/2 b^2 - 1/2 a^2|$ sia valida per $AA a,b in RR$. Infatti si ha $-1/2 a^2 -1/2 b^2 <= 1/2 b^2 -1/2 a^2 <=1/2 a^2 + 1/2 b^2$ e, sommando ad ogni termine $(1/2 a^2 - 1/2 b^2)$ si ottiene $-b^2 <= 0 <= a^2$, relazione sempre valida.
@Raptorista&Seneca: grazie, terrò a mente e proverò a sviluppare.
@dissonance: effettivamente, come dici tu, il mio discorso è un po' oscuro, e di conseguenza può essere frainteso.
La prima cosa che ho voluto dimostrare è che lo sviluppo analitico dei due termini a sinistra e a destra dell'uguale non conduce ad un'identità algebrica (cosa, credo, non assolutamente scontata); dopodiché ho però tirato le somme troppo rapidamente. Di fatto, come suggerisci, la bisettrice del primo e del terzo quadrante verifica le relazioni a cui sono pervenuto e costituisce pertanto un controesempio alle affermazioni prese in esame.
Quanto poi alla c., sembra palese che $1/2 a^2 + 1/2 b^2 >= |1/2 b^2 - 1/2 a^2|$ sia valida per $AA a,b in RR$. Infatti si ha $-1/2 a^2 -1/2 b^2 <= 1/2 b^2 -1/2 a^2 <=1/2 a^2 + 1/2 b^2$ e, sommando ad ogni termine $(1/2 a^2 - 1/2 b^2)$ si ottiene $-b^2 <= 0 <= a^2$, relazione sempre valida.
Quella disuguaglianza consegue da quest'altra, che è fondamentale:
$\forall x, y \in RR,\quad |x+y|\le |x|+|y|$.
Riesci a vedere perché?
$\forall x, y \in RR,\quad |x+y|\le |x|+|y|$.
Riesci a vedere perché?
"Delirium":
sembra palese che $1/2 a^2 + 1/2 b^2 >= |1/2 b^2 - 1/2 a^2|$ sia valida per $AA a,b in RR$; non saprei tuttavia come dimostrarlo.
$1/2 a^2 + 1/2 b^2 >= |1/2 b^2 - 1/2 a^2|$
"dissonance":
Quella disuguaglianza consegue da quest'altra, che è fondamentale:
$\forall x, y \in RR,\quad |x+y|\le |x|+|y|$.
Riesci a vedere perché?
Perché il caso che sto valutando è in sostanza assimilabile a $|x+(-y)|<=|x|+|y|$? Oppure perché $x$ e $y$ appartengono all'insieme dei numeri reali e pertanto possono essere anche negativi?
@Seneca: ho editato il mio post precedente (per proporre una dimostrazione della relazione presa in esame) immediatamente dopo il tuo messaggio perché mi sono reso conto di aver scritto una cappellata. Stavo pensando ad un'altra cosa.
@Delirium: Dillo bene.
$|1/2 a^2 -1/2 b^2|=|1/2 a^2 + (-1/2 b^2)| \le $...
[size=75](qui applichiamo la disuguaglianza fondamentale con $x=1/2 a^2, y=-1/2 b^2$)[/size]
...$le |1/2 a^2| + |-1/2b^2|=1/2 a^2 + 1/2b^2$.
$|1/2 a^2 -1/2 b^2|=|1/2 a^2 + (-1/2 b^2)| \le $...
[size=75](qui applichiamo la disuguaglianza fondamentale con $x=1/2 a^2, y=-1/2 b^2$)[/size]
...$le |1/2 a^2| + |-1/2b^2|=1/2 a^2 + 1/2b^2$.
Sì dissonance, attendevo soltanto una tua conferma per formalizzare correttamente.
Ricapitolando:
Enunciato da dimostrarsi: si consideri la disuguaglianza $|1/2 b^2 - 1/2 a^2|<=1/2 a^2 + 1/2 b^2$; si provi che essa è valida per $AA a,b in RR$.
Dimostrazione #1 (suggerita da dissonance): tenendo presente la disuguaglianza triangolare ($|x+y|<=|x|+|y|$ valida per $AA x,y in RR$), è possibile ricondurre ad essa la relazione considerata. Infatti ponendo $1/2 b^2=x$ e $-1/2 a^2=y$, si avrà di conseguenza che $|1/2 b^2|=1/2 b^2=|x|$ e $|-1/2 a^2|=1/2 a^2=|y|$ e quindi si ottiene in definitiva $|1/2 b^2 + (-1/2 a^2)|<=|1/2 b^2|+|1/2 a^2|$ per $AA a,b in RR$, come volevasi dimostrare.
Dimostrazione #2 (suggerita da Delirium): sommando $(1/2 a^2 - 1/a b^2)$ ad ogni termine della seguente: $-1/2 a^2 -1/2 b^2 <= 1/2 b^2 - 1/2 a^2 <= 1/2 a^2 + 1/2 b^2$, sinonimo di $|1/2 b^2 - 1/2 a^2|<=1/2 a^2 + 1/2 b^2$, si ottiene $-b^2 <= 0 <= a^2$, disuguaglianza valida per $AA a,b in RR$ (poiché certamente lo $0$ è sempre minore di un qualsiasi numero positivo $a^2$ e sempre maggiore di un qualsiasi numero negativo $-b^2$).
Dimostrazione #3 (suggerita da Seneca): si veda il post di Seneca.
Può andare dissonance?
Ricapitolando:
Enunciato da dimostrarsi: si consideri la disuguaglianza $|1/2 b^2 - 1/2 a^2|<=1/2 a^2 + 1/2 b^2$; si provi che essa è valida per $AA a,b in RR$.
Dimostrazione #1 (suggerita da dissonance): tenendo presente la disuguaglianza triangolare ($|x+y|<=|x|+|y|$ valida per $AA x,y in RR$), è possibile ricondurre ad essa la relazione considerata. Infatti ponendo $1/2 b^2=x$ e $-1/2 a^2=y$, si avrà di conseguenza che $|1/2 b^2|=1/2 b^2=|x|$ e $|-1/2 a^2|=1/2 a^2=|y|$ e quindi si ottiene in definitiva $|1/2 b^2 + (-1/2 a^2)|<=|1/2 b^2|+|1/2 a^2|$ per $AA a,b in RR$, come volevasi dimostrare.
Dimostrazione #2 (suggerita da Delirium): sommando $(1/2 a^2 - 1/a b^2)$ ad ogni termine della seguente: $-1/2 a^2 -1/2 b^2 <= 1/2 b^2 - 1/2 a^2 <= 1/2 a^2 + 1/2 b^2$, sinonimo di $|1/2 b^2 - 1/2 a^2|<=1/2 a^2 + 1/2 b^2$, si ottiene $-b^2 <= 0 <= a^2$, disuguaglianza valida per $AA a,b in RR$ (poiché certamente lo $0$ è sempre minore di un qualsiasi numero positivo $a^2$ e sempre maggiore di un qualsiasi numero negativo $-b^2$).
Dimostrazione #3 (suggerita da Seneca): si veda il post di Seneca.
Può andare dissonance?
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