Interale doppio

[20021991]

Salve a tutti. Devo calcolare l'area della regione di piano

T = $ {(x,y) \in R^2 : x^2/2 < y < x^2, y^2/2 < x < y^2 } $

Ho provato a calcolare l'integrale doppio in $ dxdy $ della funzione unitaria prendendo come estremi dell'integrale in $dx$ y^2/2 e y^2, mentre per $dy$ x^2/2 e x^2:

$\int_{x^2/2}^{ x^2} \int_{y^2/2}^{y^2} 1dxdy$

Non capisco perché sia sbagliato

[Quinzio]

Non capisco perché sia sbagliato

L'area che ti interessa è questa.
Riesci a capire meglio come impostare l'integrale ?

[20021991]

L'insieme è regolare. Quindi potrei suddividerlo (scusa se ti ho rubato l'immagine) nei tre insiemi semplici e integrare su ciascuno.



E' un ragionamento corretto? Sicuramente dispendioso...

[Quinzio]

"20021991":L'insieme è regolare. Quindi potrei suddividerlo (scusa se ti ho rubato l'immagine) nei tre insiemi semplici e integrare su ciascuno.



E' un ragionamento corretto? Sicuramente dispendioso...

L'immagine te la regalo con piacere.
Il ragionamento è corretto, sono 3 integrali che sanno fare anche i bimbi e ci si mette 5 minuti.
Spero che tu noti che avevi impostato un integrale concettualmente sbagliato (non poteva mai saltarci fuori un'area), non definito, e con estremi comunque errati.

[ciampax]

Un cambiamento di variabile del tipo $x=u+v,\ y=u-v$ avrebbe reso le cose tanto tanto semplici, dal momento che la regione è simmetrica rispetto alla bisettrice del primo quadrante.

[20021991]

Come fai a capire che questo cambiamento di variabile è funzionale? Come lo capisci? Voglio dire, con quale criterio si sceglie il cambio di variabili in un caso come questo?

L'obiettivo è ottenere un rettangolo?

[ciampax]

Lo capisco dal fatto che il dominio è simmetrico rispetto alla bisettrice del I e III quadrante, pertanto operando quel cambiamento faccio in modo di spostare l'asse $x$ proprio su questa bisettrice (che diventa l'asse $u$, se non vado errato). In questo modo la cosa si semplifica.