Intepretare la funzione di Green per l'operatore di Laplace
Ancora una domanda tratta dal libro di Evans, stavolta riguarda la funzione di Green per l'equazione di Poisson. Abbiamo un aperto [tex]U[/tex] e, con considerazioni varie che non è necessario ripetere, ci siamo procurati una funzione [tex]G(x,y)[/tex], definita per [tex]x, y \in U, x \ne y[/tex] e con la proprietà
(1) [tex]$u(x)=-\int_U G(x, y)\Delta u(y)\, dy - \int_{\partial U} D_y G(x, y)u(y) \cdot \nu dS(y)[/tex] ([tex]\nu[/tex]="normale uscente")
(cfr. Evans seconda edizione, pag.34). Adesso l'autore dice: possiamo interpretare la funzione di Green come soluzione simbolica del problema
(2) [tex]$\begin{cases} -\Delta_y G=\delta_x & U \\ G=0 &\partial U \end{cases}[/tex]
dove [tex]x[/tex] varia in [tex]U[/tex]. Ok, ora sono sicuro che quest'ultima affermazione si può formalizzare nel contesto distribuzionale, ma non vorrei fare questo: vorrei proprio capire cosa c'entra con la proprietà (1). Voglio dire, il primo dei due integrali ci dice che nel volume [tex]U[/tex] è [tex]-\Delta_y G=\delta_x[/tex], chiaro. Ma il secondo integrale come entra in questo quadro?
(1) [tex]$u(x)=-\int_U G(x, y)\Delta u(y)\, dy - \int_{\partial U} D_y G(x, y)u(y) \cdot \nu dS(y)[/tex] ([tex]\nu[/tex]="normale uscente")
(cfr. Evans seconda edizione, pag.34). Adesso l'autore dice: possiamo interpretare la funzione di Green come soluzione simbolica del problema
(2) [tex]$\begin{cases} -\Delta_y G=\delta_x & U \\ G=0 &\partial U \end{cases}[/tex]
dove [tex]x[/tex] varia in [tex]U[/tex]. Ok, ora sono sicuro che quest'ultima affermazione si può formalizzare nel contesto distribuzionale, ma non vorrei fare questo: vorrei proprio capire cosa c'entra con la proprietà (1). Voglio dire, il primo dei due integrali ci dice che nel volume [tex]U[/tex] è [tex]-\Delta_y G=\delta_x[/tex], chiaro. Ma il secondo integrale come entra in questo quadro?
Risposte
Quando scarichi le derivate del laplaciano rimangono i termini di bordo (uno sparisce, quello dove compare $G$ non derivato).
Se $u$ fosse a supporto compatto in $U$ (come avviene per le funzioni test delle distribuzioni) tutti i termini di bordo sarebbero nulli.
Se $u$ fosse a supporto compatto in $U$ (come avviene per le funzioni test delle distribuzioni) tutti i termini di bordo sarebbero nulli.
"Rigel":
Quando scarichi le derivate del laplaciano rimangono i termini di bordo (uno sparisce, quello dove compare $G$ non derivato).
Se $u$ fosse a supporto compatto in $U$ (come avviene per le funzioni test delle distribuzioni) tutti i termini di bordo sarebbero nulli.
In parole povere: usa la formula di Greene e vedi cosa viene fuori!
Aaahhhnn ho capito!!! Dobbiamo integrare per parti due volte il primo dei due integrali nella (1), così da ottenere
[tex]$\int_U u(y)\, d\delta_x[/tex].
Però ci salta fuori un termine di bordo estraneo (rispetto a quanto accade per [tex]U=\mathbb{R}^n[/tex]), ovvero [tex]\int_{\partial U} D_y G(x, y)u(y) \cdot \nu dS(y)[/tex], che quindi dobbiamo correggere nella formula (1).
E si, mi avete convinto. Grazie!
[tex]$\int_U u(y)\, d\delta_x[/tex].
Però ci salta fuori un termine di bordo estraneo (rispetto a quanto accade per [tex]U=\mathbb{R}^n[/tex]), ovvero [tex]\int_{\partial U} D_y G(x, y)u(y) \cdot \nu dS(y)[/tex], che quindi dobbiamo correggere nella formula (1).
E si, mi avete convinto. Grazie!
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