Integtale doppio

[billytalentitalianfan]

$\int\int_D(2xy-y^2)$ , $D={(x-1)^2+y^2<=4}$

Poiché il dominio di integrazione è pari nella variabile $y$ , la prima funzione non mi dà contributo perché dispari; posso inoltre dividere l'intervallo di integrazione e moltiplicare per 2 la seconda funzione, perché pari.

Passando alle coordinata polari, ottengo:

$\int_0^2\int_0^\pi(-2r(r^2)(sin\theta)^2)d\thetadr = -4\pi$
Invece il risultato dovrebbe essere $-\pi$

Dove sbaglio?

Grazie per l'attenzione.

[edge1]

Ma gli estremi di integrazione come li hai trovati?

[Alxxx28]

ma $\theta$ non dovrebbe variare da $0$ a $2\pi$?
dato che si considera l' intera circonferenza

[billytalentitalianfan]

Potrei far variare $theta$ tra $0$ e $2\pi$, oppure considerare solo "l'intervallo" $(0$, $\pi)$, ricordandomi di moltiplicare per due il risultato, dato che è una funzione pari.
O almeno credo.