Integrazioni secondo Lebesgue

[nunziox]

Dopo domani riprenderanno le lezioni e l'ultimo argomento che il mio prof. di Analisi II ci illustrerà è un metodo per il calcolo dell'integrale di Lebesque, abbiamo già affrontato la teoria della misura, come si arriva alla definizione di integrale di Lebesque e alcuni teoremi di base. Siccome il tempo a disposizione prima del primo esame sarà poco, chiedevo se qualcuno poteva darmi un idea (sempre se riuscirei a comprendere con le conoscenze finora acquisite) su coma si calcoli un integrale come questo:

$int int_(T)^() \ yxdx \ dy $

dove $T={(x,y) in R^2 : 0<=x<=y^2<=1-x^2}$

[Paolo902]

Tieni conto che se una funzione è integrabile secondo Riemann allora è integrabile secondo Lebesgue e il valore dei due integrali è chiaramente lo stesso. Ora, la funzione $(x,y) \mapsto xy$ è chiaramente continua e questo basta affinché sia Riemann-integrabile sul dominio $T$.

Di conseguenza, basta calcolare quell'integrale nel senso di Riemann per rispondere all'esercizio.
Ora (mi e) ti chiedo: sai calcolare gli integrali doppi e, più in generale, multipli?

[nunziox]

in Analisi I avevamo calcolato gli integrali semplici secondo Riemann, mai fatti integrali doppi o tripli. Dando un occhiata al libro ho trovato un paragrafo dedicato alle formule di riduzione dove si differenziano forme di riduzione in domini piani e in domini dello spazio.

[nunziox]

[UP] Nessun aiuto?

[dissonance]

Ma che aiuto vuoi, Nunzio? Sono esercizi standard di calcolo di integrali multipli. Vediti un po' le tecniche usuali di risoluzione dal libro (già le hai trovate) e poi se hai dubbi specifici ne possiamo riparlare. Non puoi partire da zero su un forum.

[nunziox]

ma $T$ è un dominio NORMALE?

posso scrivere:

$0<=x<=1$
e
$-sqrt(1-x^2)<=y<=sqrt(1-x^2)$

quindi, risolvere:

$int_(0)^(1) x ( int_(-sqrt(1-x^2))^(sqrt(1-x^2)) y dy ) dx$

risolvendo

$int_(0)^(1) x ( int_(-sqrt(1-x^2))^(sqrt(1-x^2)) y dy ) dx=3/4$

[gugo82]

"nunziox":ma $T$ è un dominio NORMALE?

Hai provato a fare un disegno?

[Quinzio]

"nunziox":Dopo domani riprenderanno le lezioni e l'ultimo argomento che il mio prof. di Analisi II ci illustrerà è un metodo per il calcolo dell'integrale di Lebesque, abbiamo già affrontato la teoria della misura, come si arriva alla definizione di integrale di Lebesque e alcuni teoremi di base. Siccome il tempo a disposizione prima del primo esame sarà poco, chiedevo se qualcuno poteva darmi un idea (sempre se riuscirei a comprendere con le conoscenze finora acquisite) su coma si calcoli un integrale come questo:

$int int_(T)^() \ yxdx \ dy $

dove $T={(x,y) in R^2 : 0<=x<=y^2<=1-x^2}$

Devi cercare di estrarre infomazioni "utili" dal dominio.
Ad esempio deve essere $x<1-x^2$
La parte a sinistra $x$ va all'infinito quella a destra va a meno infinito, ergo.... si incontreranno da qualche parte....
Per capire dove poniamo $x=1-x^2$ risolvi e hai già trovato gli estremi di x (uno, l'altro te l'hanno dato).

[nunziox]

quindi $(-1-sqrt(5))/2 e la y
$0<=y<=1-x^2$ ?

[nunziox]

Ma con questo dominio(sempre che sia giusto) non vale il teorema di Tonelli, come verifico la sommabilita per Fubini?