Integrazione tramite residui

[Webster]

Ho bisogno del vostro aiuto per comprendere un importante argomento dell'analisi complessa:l'utilizzo dei residui per valutare integrali di funzioni a variabile reale tramite i residui.Consideriamo la funzione $f(x)$ avente un polo in $x0$ ed indichiamo il suo integrale su tutto l'asse delle ascisse come $int_(-oo)^(+oo) f(x) dx=lim_(epsilon -> 0,R -> oo) int_(-R)^(x0-epsilon) f(x) dx + int_(x0+epsilon)^(R) f(x) dx$.Successivamente,nel piano complesso,si costruisce la seguente curva chiusa $C=x in [-R,x0-epsilon] uu gamma:z=x0+epsilon exp(i(theta)),theta in [pi,2pi] uu x in [x0+epsilon,R] uu z=x0+Rexp(i(theta))$.Successivamente applichiamo il teorema dei residui per calcolare l'integrale su tale curva della funzione di cui possiamo considerare $f(x)$ una restrizione al solo asse reale $int_(C) f(z) dz =2pii sum Res f(z)$.Poi avviene il passaggio che non mi è chiaro:$int_(-oo)^(+oo) f(x) dx=2pii sum Res f(z) - int_(gamma) f(z) dz$ per R tendente all'infinito.Mi potete spiegare questo passaggio.Grazie.

[Rigel1]

Scrivi l'integrale su \(C\) come somma di tutti i pezzetti in cui hai scomposto la curva. Portando a secondo membro tutti i pezzi che non ti servono, ottieni qualcosa del tipo:
\[
\int_{[-R, x_0-\epsilon]} + \int_{[x_0+\epsilon, R]} = 2\pi i \sum \text{Res} f - \left\{\text{contributi su tutti gli altri pezzi di curva}\right\}.
\]
A questo punto passi al limite per \(\epsilon\to 0\) e \(R\to +\infty\); a primo membro ti rimane l'integrale che dovevi calcolare, a secondo membro (se sei fortunato) tutti i contributi sugli altri pezzi vanno a zero.

[Webster]

Ma perchè viene indicata la sola componente sulla curva $gamma$ e ci si dimentica della curva $z=x0+Rexp(i(theta)) , theta in [0,pi]$ ?