Integrazione sul piano complesso
Salve a tutti, sto preparando l'esame di metodi matematici (sono uno studente di fisica) e svoglendo questo esercizio ho trovato alcuni problemi. L'integrale che devo calcolare è:
$I=\int_{0}^{infty} sin(x)/(x(x^2+1)^2) dx$
le soluzioni che il mio prof ha postato mi torna, però io avevo iniziato a risolverlo seguendo una via diversa, e non capisco cosa ci sia di sbagliato, ma il risultato a cui giungo non è corretto :
il risultato corretto (ho controllato anche su wolfram alpha) è quello del mio prof ovvero $I=\pi/2(1-3/(2e))$. Vi illustro come avevo proceduto io:
1) Osservo che le funzione integranda è pari, quindi $I=1/2\int_{-infty}^{infty} sin(x)/(x(x^2+1)^2) dx$
2)estendo la funzione integranda al piano complesso definendo $\f(z)=sin(z)/(z(z^2+1)^2)$ con $z \in CC$
3) Noto che la $f(z)$ ha una singolarità eliminabile in $0$, e due poli del secono ordine in $+i$ e in $-i$
4)scelgo come cammino di integrazione la semicirconferenza $ \Gamma=\gamma_1+\gamma_2$ sul semipiano superiore $Im(z)>0$ definita dalle seguendi equazioni
$ \gamma_1(t)=t$ con $ t in [-R,R]$
$ \gamma_2(\theta)=Re^(i\theta)$ con $\theta in [0,\pi]$
5) Posso calcolare l'integrale su questo cammino utilizzando il metodo dei residui ottenendo:
$ \int_{\Gamma}f(z)dz=2\piiRes[f(z),z=i] $
6)D'altra parte
$ \int_{Gamma}f(z)dz= \int_{gamma_1}f(z)dz+ \int_{gamma_2}f(z)dz$
7) Faccio tendere adesso $R\rarr \infty$:
mostro che $\int_{gamma_2}f(z)dz=\int_{0}^{\pi}sin(Re^(i\theta))/(Re^(i\theta)(Re^(i2\theta)+1)^2)iRe^(i\theta)d\theta\rarr\0$
È anche evidente che $\int_{gamma_1}f(z)dz\rarr\2I$
8) Concludo allora che $\2I=\int_{Gamma}f(z)dz=2piiRes[ f(z),z=i]$ da cui calcolo $I$
il risultato di questo procedimento è $I=-pi/4(cosh(1)-2sinh(1))=pi/8(e-3/e)$ che è evidentemente sbagliato:
Quello che vi chiedo è di potermi far notare l'errore di questo procedimento, perchè io ci ho perso un bel po' di tempo, ma proprio non riesco a trovarlo, più che altro per capire se è una grave lacuna concettuale o semplicemente un errore di distrazione che non sto individuando.
Grazie a tutti per le eventuali risposte.
$I=\int_{0}^{infty} sin(x)/(x(x^2+1)^2) dx$
le soluzioni che il mio prof ha postato mi torna, però io avevo iniziato a risolverlo seguendo una via diversa, e non capisco cosa ci sia di sbagliato, ma il risultato a cui giungo non è corretto :
il risultato corretto (ho controllato anche su wolfram alpha) è quello del mio prof ovvero $I=\pi/2(1-3/(2e))$. Vi illustro come avevo proceduto io:
1) Osservo che le funzione integranda è pari, quindi $I=1/2\int_{-infty}^{infty} sin(x)/(x(x^2+1)^2) dx$
2)estendo la funzione integranda al piano complesso definendo $\f(z)=sin(z)/(z(z^2+1)^2)$ con $z \in CC$
3) Noto che la $f(z)$ ha una singolarità eliminabile in $0$, e due poli del secono ordine in $+i$ e in $-i$
4)scelgo come cammino di integrazione la semicirconferenza $ \Gamma=\gamma_1+\gamma_2$ sul semipiano superiore $Im(z)>0$ definita dalle seguendi equazioni
$ \gamma_1(t)=t$ con $ t in [-R,R]$
$ \gamma_2(\theta)=Re^(i\theta)$ con $\theta in [0,\pi]$
5) Posso calcolare l'integrale su questo cammino utilizzando il metodo dei residui ottenendo:
$ \int_{\Gamma}f(z)dz=2\piiRes[f(z),z=i] $
6)D'altra parte
$ \int_{Gamma}f(z)dz= \int_{gamma_1}f(z)dz+ \int_{gamma_2}f(z)dz$
7) Faccio tendere adesso $R\rarr \infty$:
mostro che $\int_{gamma_2}f(z)dz=\int_{0}^{\pi}sin(Re^(i\theta))/(Re^(i\theta)(Re^(i2\theta)+1)^2)iRe^(i\theta)d\theta\rarr\0$
È anche evidente che $\int_{gamma_1}f(z)dz\rarr\2I$
8) Concludo allora che $\2I=\int_{Gamma}f(z)dz=2piiRes[ f(z),z=i]$ da cui calcolo $I$
il risultato di questo procedimento è $I=-pi/4(cosh(1)-2sinh(1))=pi/8(e-3/e)$ che è evidentemente sbagliato:
Quello che vi chiedo è di potermi far notare l'errore di questo procedimento, perchè io ci ho perso un bel po' di tempo, ma proprio non riesco a trovarlo, più che altro per capire se è una grave lacuna concettuale o semplicemente un errore di distrazione che non sto individuando.
Grazie a tutti per le eventuali risposte.
Risposte
Io farei così ,
$ I=1/2\int_{-infty}^{infty} sin(x)/(x(x^2+1)^2) dx=I=1/(4i)\int_{-infty}^{infty} (e^(ix)-e^(-ix))/(x(x^2+1)^2) dx $
Qui allora spezzo l'integrale
$ I=1/(4i)[\int_{-infty}^{infty} (e^(ix))/(x(x^2+1)^2) dx -\int_{-infty}^{infty}(e^(-ix))/(x(x^2+1)^2)] = $
Considero due cammini , una semicirconferenza di raggio R, che farò tendere a infinito ,
percorsa in verso positivo nel semipiano superiore , e un'altra semicirconferenza percorsa in senso negativo
nel semipiano inferiore di raggio R che poi farò tendere ad infinito.
A questo punto
$I=I_++I_-$
$ I_+=pi/2[Res( (e^(iz))/(z(z^2+1)^2))|_(z=i) $
$ I_- =-pi/2[Res((e^(-iz))/(z(z^2+1)^2))|_(z=-i)] $
A occhio direi che sta venendo , se vuoi prova a finirlo , in serata farò i conti.
$ I=1/2\int_{-infty}^{infty} sin(x)/(x(x^2+1)^2) dx=I=1/(4i)\int_{-infty}^{infty} (e^(ix)-e^(-ix))/(x(x^2+1)^2) dx $
Qui allora spezzo l'integrale
$ I=1/(4i)[\int_{-infty}^{infty} (e^(ix))/(x(x^2+1)^2) dx -\int_{-infty}^{infty}(e^(-ix))/(x(x^2+1)^2)] = $
Considero due cammini , una semicirconferenza di raggio R, che farò tendere a infinito ,
percorsa in verso positivo nel semipiano superiore , e un'altra semicirconferenza percorsa in senso negativo
nel semipiano inferiore di raggio R che poi farò tendere ad infinito.
A questo punto
$I=I_++I_-$
$ I_+=pi/2[Res( (e^(iz))/(z(z^2+1)^2))|_(z=i) $
$ I_- =-pi/2[Res((e^(-iz))/(z(z^2+1)^2))|_(z=-i)] $
A occhio direi che sta venendo , se vuoi prova a finirlo , in serata farò i conti.
Intanto grazie per la risposta, e scusami se ci ho messo un po' a rispondere ma oggi pomeriggio non ero in casa:
Comunque, ammesso e non concesso che io abbia capito bene, secondo quanto tu dici abbiamo:
$I=\pi/2 {Res[e^(iz)/(z*(z^2+1)^2),z=i]-Res[e^(-iz)/(z*(z^2+1)^2),z=-i]} =\pi/2(-3/(4e)-(-3/(4e))=0$
Dimmi tu se ho sbagliato qualcosa, (cosa tra l'altro molto probabile
)
Inoltre, secondo me, nel procedimento che hai fatto tu c'è un errore, infatti prima di dividere la funzione seno nella somma di due esponenziali, la funzione integranda è ben definita su tutta la retta reale, ma quando dividi $\sin(z)=1/(2i)*(e^(iz)- e^(-iz))$ e calcoli i 2 integrali separatamente ovvero:
$ \int_{-infty}^{infty}e^(iz)/(z(z^2+1))$ e $\int_{-infty}^{infty}e^(-iz)/(z(z^2+1))$ ,
le due funzioni integrande hanno entrambe una divergenza in $x=0$, cosa che non ti permette di applicare il teorema dei residui come hai fatto tu! che ne pensi?
Comunque, ammesso e non concesso che io abbia capito bene, secondo quanto tu dici abbiamo:
$I=\pi/2 {Res[e^(iz)/(z*(z^2+1)^2),z=i]-Res[e^(-iz)/(z*(z^2+1)^2),z=-i]} =\pi/2(-3/(4e)-(-3/(4e))=0$
Dimmi tu se ho sbagliato qualcosa, (cosa tra l'altro molto probabile
)Inoltre, secondo me, nel procedimento che hai fatto tu c'è un errore, infatti prima di dividere la funzione seno nella somma di due esponenziali, la funzione integranda è ben definita su tutta la retta reale, ma quando dividi $\sin(z)=1/(2i)*(e^(iz)- e^(-iz))$ e calcoli i 2 integrali separatamente ovvero:
$ \int_{-infty}^{infty}e^(iz)/(z(z^2+1))$ e $\int_{-infty}^{infty}e^(-iz)/(z(z^2+1))$ ,
le due funzioni integrande hanno entrambe una divergenza in $x=0$, cosa che non ti permette di applicare il teorema dei residui come hai fatto tu! che ne pensi?
Bravo!
Dato che "compare" quel polo in $0$ , calcolerai il residuo anche per quello ,
lo puoi "addizzionare" sia all'integrale di sopra , che a quello di sotto , il risultato non cambia.
(qui ci sarebbe , almeno in un compito d' esame , da chiarire il procedimento usato , nel senso della deformazione che si da al cammino di integrazione e in quale semipiano si ingloba la singolarità in $0$ , ma siamo fisici
)
Chiaramente poi commetti un errore di segno ,
(forse lo so qual' è , ricordati che quando chiudi il cammino nel semipiano inferiore , lo percorri in senso negativo)
guarda un po il residuo in $0$ è proprio $1$ .
Se guardi il risultato poi
$I=\pi/2(1-3/(2e))$ ti accorgi subito che il secondo termine del secondo membro è proprio
$ (-3/(4e)-3/(4e))=-3/(2e) $
e ci siamo.
Dato che "compare" quel polo in $0$ , calcolerai il residuo anche per quello ,
lo puoi "addizzionare" sia all'integrale di sopra , che a quello di sotto , il risultato non cambia.
(qui ci sarebbe , almeno in un compito d' esame , da chiarire il procedimento usato , nel senso della deformazione che si da al cammino di integrazione e in quale semipiano si ingloba la singolarità in $0$ , ma siamo fisici
)Chiaramente poi commetti un errore di segno ,
(forse lo so qual' è , ricordati che quando chiudi il cammino nel semipiano inferiore , lo percorri in senso negativo)
guarda un po il residuo in $0$ è proprio $1$ .
Se guardi il risultato poi
$I=\pi/2(1-3/(2e))$ ti accorgi subito che il secondo termine del secondo membro è proprio
$ (-3/(4e)-3/(4e))=-3/(2e) $
e ci siamo.
ok!! tutto chiaro, si in effetti mi ero scordato di cambiare il segno all'integrale svolto sulla circonfernza del semipiano inferiore, e non sapevo bene come deformare il cammino di integrazione, ma come dici tu è indifferente "schivare" lo zero da sopra o da sotto, quindi il problema non si pone.
Grazie mille per l'aiuto!
Dato che ci sono, ti posso anche chiedere, ammesso che tu abbia tempo e voglia di rispondere, come mai il procedimento che ho postato io nella domanda non fornisce il risultato corretto? Perchè a me proprio non riesce individuare l'errore!
Grazie mille per l'aiuto!
Dato che ci sono, ti posso anche chiedere, ammesso che tu abbia tempo e voglia di rispondere, come mai il procedimento che ho postato io nella domanda non fornisce il risultato corretto? Perchè a me proprio non riesce individuare l'errore!
Come mai il procedimento che ho postato io nella domanda non fornisce il risultato corretto? Perchè a me proprio non riesce individuare l'errore!
Beh il lemma di Jordan non è immediatamente applicabile nel tuo caso ,
perché la funzione integranda si comporta male quando $ (z -> oo) $
sia nel semipiano superiore che in quello inferiore (esplode esponenzialmente),
e allora la prima cosa che viene in mente è di scrivere l'integrale come somma di due integrali,
che è quello che abbiamo fatto noi appunto.
Ok, sono un idiota! ho ripreso in mano questi esercizi da poco e sarebbe meglio non dire che stavo considerando il seno limitato tra [-1,1], scusa per il tempo che ti ho fatto perdere e grazie ancora!
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