Integrazione su sottovarietà parametrizzabili di $RR^N$
Ciao a tutti,
sto studiando l'integrazione su sottovarietà parametrizzabili di $RR^N$ $m$-dimensionali senza bordo.
Ho notato che in rete non trovo da nessuna parte quasi niente su questo argomento, niente sul quadrato simbolico di una matrice, quasi niente sul graamiano di $m$ vettori, niente sui simboli di Gauss, niente sugli integrali su una ipersuperficie.
Come è possibile tutto ciò? Qualcuno può consigliarmi qualche buon libro su questo argomento?
sto studiando l'integrazione su sottovarietà parametrizzabili di $RR^N$ $m$-dimensionali senza bordo.
Ho notato che in rete non trovo da nessuna parte quasi niente su questo argomento, niente sul quadrato simbolico di una matrice, quasi niente sul graamiano di $m$ vettori, niente sui simboli di Gauss, niente sugli integrali su una ipersuperficie.
Come è possibile tutto ciò? Qualcuno può consigliarmi qualche buon libro su questo argomento?
Risposte
Ho trovato adesso questo post. Hai ragione, è un argomento ingiustamente trascurato. Il fatto è che queste cose appartengono alla terra di nessuno tra l'analisi e la geometria e quindi ognuno si scoccia ad avventurarvisi bene dentro: gli analisti pensano sia roba da geometri, i geometri pensano sia roba da analisti e patatracchete.
Comunque, se ne parla sul libro di Marcellini-Sbordone Analisi matematica 2 dal punto di vista dell'analista: si introduce sulla sottovarietà una misura (la misura di Hausdorff \(m\)-dimensionale) e quindi una nozione di integrale per le funzioni scalari e poi, in termini di questa, si definisce l'integrale di una \(m\)-forma (se la varietà è orientata).
Non è il massimo della chiarezza, se vuoi la mia opinione, specie sulla parte relativa alle forme differenziali. Per queste cose è meglio cercare sui libri di geometria, che però tendono ad affrontare l'argomento con maggiore generalità e a richiedere molti prerequisiti algebrici in più (tensori e prodotti esterni, che amano affrontare con il linguaggio delle categorie). Recentemente mi sono imbattuto nel libro di Jeff Lee, Manifolds and differential geometry, che tratta l'integrazione nel nono capitolo e mi è sembrato ben fatto.
Un ottimo survey dell'argomento in questa maggiore generalità ma sempre dal punto di vista dell'analisi c'è su Folland, Real analysis, 2a edizione, pagg. 361-363. Ci sono anche riferimenti bibliografici.
Comunque, se ne parla sul libro di Marcellini-Sbordone Analisi matematica 2 dal punto di vista dell'analista: si introduce sulla sottovarietà una misura (la misura di Hausdorff \(m\)-dimensionale) e quindi una nozione di integrale per le funzioni scalari e poi, in termini di questa, si definisce l'integrale di una \(m\)-forma (se la varietà è orientata).
Non è il massimo della chiarezza, se vuoi la mia opinione, specie sulla parte relativa alle forme differenziali. Per queste cose è meglio cercare sui libri di geometria, che però tendono ad affrontare l'argomento con maggiore generalità e a richiedere molti prerequisiti algebrici in più (tensori e prodotti esterni, che amano affrontare con il linguaggio delle categorie). Recentemente mi sono imbattuto nel libro di Jeff Lee, Manifolds and differential geometry, che tratta l'integrazione nel nono capitolo e mi è sembrato ben fatto.
Un ottimo survey dell'argomento in questa maggiore generalità ma sempre dal punto di vista dell'analisi c'è su Folland, Real analysis, 2a edizione, pagg. 361-363. Ci sono anche riferimenti bibliografici.
Ah dimenticavo due riferimenti classici: Rudin Principi di analisi matematica, capitolo "Integrazione delle forme differenziali" e Spivak Calculus on Manifolds. Questi sono riferimenti standard di qualche anno fa. Non li conosco bene.
Ti ringrazio tanto, si vede che sei molto preparato (laurendo in matematica)?
Sicuramente mi procurerò il Marcellini-Sbordone, perchè ne ho sentito parlare molto bene per gli altri riferimenti preferisco prima farmi bene le ossa (ad esempio non conosco il calcolo tensoriale al contrario del prodotto esterno di m-forme).
Comunque grazie
Sicuramente mi procurerò il Marcellini-Sbordone, perchè ne ho sentito parlare molto bene per gli altri riferimenti preferisco prima farmi bene le ossa (ad esempio non conosco il calcolo tensoriale al contrario del prodotto esterno di m-forme).
Comunque grazie
"lordb":Grazie, in realtà parli proprio di un argomento di cui non so nulla!
Ti ringrazio tanto, si vede che sei molto preparato (laureando in matematica)?
Ragione per cui in questi giorni ho fatto una piccola ricerca, ecco perché ti sembro tanto preparato. Ho solo sfogliato questi libri che suggerisco! [size=85](Si, sono un laureando in matematica)[/size]
Ahah ok
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