Integrazione - Razionali fratte

[romanorossit]

Ciao ragazzi. Volevo chiedervi come devo procedere se facendo il metodo dei razionali fratti uno tra a e b mi risulta =0. Significa che ho sbagliato/devo usare un altro metodo? oppure continuo l'integrale semplicemente "cancellando" una delle due frazioni? grazie

[romanorossit]

In particolare l'esercizio in questione è l'integrale indefinito di (x-1)/(x^2 - x - 2) dx

[Andrea571]

"romanorossit":In particolare l'esercizio in questione è l'integrale indefinito di (x-1)/(x^2 - x - 2) dx

Allora:

$\int(x-1)/(x^2 - x - 2)dx$

Non ti ricorda niente?
E' della forma $log(ax^2+bx+c)$, che infatti, andando a derivare, diventa $(2ax+b)/(ax^2+bx+c)$, quindi nel tuo caso, al numeratore devi ottenere $2x-1$ (ovvero la derivata di $x^2-x-2$!)

Per fare questo, moltiplica e dividi per $2$:

$1/2\int(2x-2)/(x^2 - x - 2)dx$

Ma non basta: ora abbiamo $2x-2$, ma a te serve $2x-1$.....quindi, andiamo a spezzare quel $2$:

$1/2\int(2x-1-1)/(x^2 - x - 2)dx$ e ora puoi spezzare l'integrale, diventando:

$1/2(\int(2x-1)/(x^2 - x - 2)dx-\int1/(x^2-x-2)dx)$

Il primo, come abbiamo gia detto, diventa $1/2log|x^2-2x-2|$, manca $-1/2\int1/(x^2-x-2)dx$

Trasformiamo quel denominatore:

$-1/2\int1/(x^2-x-2)dx$=$-1/2\int1/((x+1)(x-2))dx$

$1/((x+1)(x-2))=1/3(1/(x-2))-1/3(1/(x+1))$

Quindi:

$-1/2\int1/((x+1)(x-2))dx$=$-1/2(1/3\int1/(x-2)dx-1/3\int1/(x+1)dx)=-1/6log|x-2|+1/6log|x+1|$

La soluzione è quindi:

$\int(x-1)/(x^2 - x - 2)dx=1/2log|x^2-2x-2|-1/6log|x-2|+1/6log|x+1|+c=$

=$1/2log|x^2-2x-2|+1/6log|x+1|/|x-2|+c$