Integrazione per sostituzione
Salve a tutti, nel mio libro dopo la formula di integrazione per sostituzione viene presentato il seguente testo che non riesco a capire bene:
$[\intf(x)dx]_{x=g(t)}=\intf(g(t))g'(t)dt$
Osserviamo che la formula di integrazione per sostituzion non richiede, per la sua validità, che $g(t)$ sia una funzione invertibile; naturalmente il risultato dell'integrazione indefinita è espresso in funzione di t, mediante la posizione $x=g(t)$, con $x$ che varia nel codominio della funzione g. Per poter espiremere il risultato in funzione di $x$, occorre suppore che $g(t)$ sia una funzione invertibile; in tal caso si ottiene il risultato finale, in funzione di $x$, con l'ulteriore sostituzione $t=g^{-1}(x)$. Notiamo però che, per il calcolo di un integrale definito, può non essere necessario invertire $g(t)$.
non riesco a cappire questa cosa dell'inversa se potete spiegarmela meglio ve ne sarei grato..
Saluti a tutti
$[\intf(x)dx]_{x=g(t)}=\intf(g(t))g'(t)dt$
Osserviamo che la formula di integrazione per sostituzion non richiede, per la sua validità, che $g(t)$ sia una funzione invertibile; naturalmente il risultato dell'integrazione indefinita è espresso in funzione di t, mediante la posizione $x=g(t)$, con $x$ che varia nel codominio della funzione g. Per poter espiremere il risultato in funzione di $x$, occorre suppore che $g(t)$ sia una funzione invertibile; in tal caso si ottiene il risultato finale, in funzione di $x$, con l'ulteriore sostituzione $t=g^{-1}(x)$. Notiamo però che, per il calcolo di un integrale definito, può non essere necessario invertire $g(t)$.
non riesco a cappire questa cosa dell'inversa se potete spiegarmela meglio ve ne sarei grato..
Saluti a tutti
Risposte
In pratica, quando prendi \(x = g(t)\) stai prendendo \(t\) e la stai trasformando tramite la mappa \(g\) per ottenere la \(x\) che ti serve; a questo punto sostituisci le \(t\) alle \(x\) ed hai in ballo le \(t\).
Se però vuoi tornare indietro, cioè tirare in ballo di nuovo le \(x\), devi assicurarti che questo sia possibile, e cioè che anche la trasformazione inversa sia una vera e propria funzione [ad una \(x\) una ed una sola \(t\)] e cioè che la tua sostituzione di prima, la \(g\), abbia una inversa, \(g^{-1}\).
Se però vuoi tornare indietro, cioè tirare in ballo di nuovo le \(x\), devi assicurarti che questo sia possibile, e cioè che anche la trasformazione inversa sia una vera e propria funzione [ad una \(x\) una ed una sola \(t\)] e cioè che la tua sostituzione di prima, la \(g\), abbia una inversa, \(g^{-1}\).
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