Integrazione per sostituzione
ciao ragazzi,ho qualche difficoltà nello svolgimento degli integrali per sostituzione,cioè,non riesco spesso a capire quale sia la sostituzione giusta da apllicare per la sostituzione delle variabili.Posto qui qualche esempio di integrale da svolgere per sostituzione in cui non riesco a capire come effettuare la sostituzione delle variabili:
1) $int x^3/sqrt (1-x^2) dx $
2) $int dx/(x^2 sqrt (x+1)) $
3) $int (1+ root(6) (x))/(root(3)(x) *(1+ root(4)(x))) dx $
come potrei procedere con questi 3 integrali,che sostituzioni posso apllicare?
spero di essere stato chiaro,grazie anticipatamente per la risposta
1) $int x^3/sqrt (1-x^2) dx $
2) $int dx/(x^2 sqrt (x+1)) $
3) $int (1+ root(6) (x))/(root(3)(x) *(1+ root(4)(x))) dx $
come potrei procedere con questi 3 integrali,che sostituzioni posso apllicare?
spero di essere stato chiaro,grazie anticipatamente per la risposta
Risposte
Per il primo la sostituzione che salta all'occhio è chiaramente porre $ x = sin t$
Infatti abbiamo al denominatore $sqrt(1 - x^2)$ che corrisponde a $sqrt (1 - sin^2t) = cos t$ che si semplifica col differenziale.
In fin dei conti ti rimane $int sin^3 t dt$ che penso si faccia abbastanza bene per parti
Nel secondo caso penso che la migliore sia la più diretta, porre cioè $t = sqrt(x+1)$ e sostituire, dovrebbe rimanere un integrale da scomporre in fratti semplici
Il terzo caso è uno di quei casi che si risolvono ponendo $t = m.c.m (3,4,6)$, ovvero $t = root(12) x -> x = t^12 -> dx = 12 t^11$, sostituendo si nota che $root(6)(x) = t ^2$ ecc ecc
Almeno, così ad occhio mi vengono in mente queste sostituzioni!
Infatti abbiamo al denominatore $sqrt(1 - x^2)$ che corrisponde a $sqrt (1 - sin^2t) = cos t$ che si semplifica col differenziale.
In fin dei conti ti rimane $int sin^3 t dt$ che penso si faccia abbastanza bene per parti
Nel secondo caso penso che la migliore sia la più diretta, porre cioè $t = sqrt(x+1)$ e sostituire, dovrebbe rimanere un integrale da scomporre in fratti semplici
Il terzo caso è uno di quei casi che si risolvono ponendo $t = m.c.m (3,4,6)$, ovvero $t = root(12) x -> x = t^12 -> dx = 12 t^11$, sostituendo si nota che $root(6)(x) = t ^2$ ecc ecc
Almeno, così ad occhio mi vengono in mente queste sostituzioni!
Per il primo viene abbastanza comodo, anzi, comodissimo, porre $(1-x^2)=t^2$, avresti dopo solo integrali immediati. Per il resto quoto Zkeggia.
quindi per quanto riguarda il secondo integrale sostituendo $ t=sqrt(x+1) $ come sostituisco la $ x^2 " $?
pongo: $ sqrt t=x+1 $
$ sqrt (t) -1=x $
$t+1=x^2 $
$dx=1/(2sqrt t) dt $
sono giusti questi calcoli?perchè non vorrei che ho scritto delle stupidaggini...
pongo: $ sqrt t=x+1 $
$ sqrt (t) -1=x $
$t+1=x^2 $
$dx=1/(2sqrt t) dt $
sono giusti questi calcoli?perchè non vorrei che ho scritto delle stupidaggini...
no sono sbagliati:
posto
$t = sqrt(x+1)$ si ha
$x = t^2 - 1 -> dx = 2tdt$
e $x^2 = (t^2-1)^2 = (t-1)^2*(t+1)^2$
posto
$t = sqrt(x+1)$ si ha
$x = t^2 - 1 -> dx = 2tdt$
e $x^2 = (t^2-1)^2 = (t-1)^2*(t+1)^2$
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