Integrazione per sostituzione

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Se $f$ è derivabile e $g$ ammette una primitiva $G$ allora \((g\circ f)\cdot f'\) ha per primitiva \(G\circ f\):\[\Bigg{[}\int g(x)dx\Bigg{]}_{x=f(t)}=\int g(f(t))f'(t)dt.\]
Mi chiedo se, qualora esista invece il membro destro, si possa stabilire l'esistenza del membro sinistro...
$\infty$ grazie a tutti!

[jitter1]

Sto rileggendo la risposta perché mi è venuto un dubbio atroce (per ora non la cancello, ma la metto in spoiler):

Ciao Davide, qual buon vento!
Una cosa non mi torna: a me risulta essere $D(g(f(t)) = g'(f(t))f'(t)$ e non $g(f(t))f'(t)$;
Quindi $int g'(f(t))f'(t) dt = g(f(t)) + c$
Operando la sostituzione $x = f(t)$, nell'integrale puoi sostituire a $f'(t) dt$ il "simbolo" $dx$ (questo uso "algebrico" va giustificato teoricamente).
Perciò ottieni $int g'(f(t))f'(t) dt = int g'(x) dx = g(x) + c$.

Ma forse sto sbagliando qualcosa o non ho capito bene la tua domanda. Vediamo che ci dicono i compagni di forum

[DavideGenova1]

Ciao, jitter!

"jitter":Una cosa non mi torna: a me risulta essere $D(g(f(t)) = g'(f(t))f'(t)$ e non $g(f(t))f'(t)$

Esatto. Quindi, supponendo che $g$ abbia per primitiva $G=\int g(x)dx$ hai che \(D(G(f(t)))=g(f(t))f'(t)\) e perciò $G(f(t))=[\int g(x)dx]_{x=f(t)}=\int g(f(t))f'(t)dt$.
Ora, mi chiedo se, quando invece si sa che esiste una primitiva $\int g(f(t))f'(t)dt$ di \((g\circ f)\cdot f'\), si possa desumere l'esistenza di \(G(f(t))\), che coinciderebbe quindi con $\int g(f(t))f'(t)dt$, a meno di costanti...

[jitter1]

Hai ragione Davide, avevo letto male. Non so risponderti, allora: aspettiamo!

[Emar1]

Sotto le ipotesi che $f$ sia un diffeomorfismo poniamo \(\tilde{g}(t) = g(f(t))f'(t)\) e \(\tilde{f} = f^{-1}\). Allora si può scrivere per definizione di \(\tilde{g}\):
\[\int g((f(t))f'(t) dt = \int \tilde{g}(t)dt \]
e applicare il teorema a questa funzione con \(\tilde{f}\):
\[ \left[ \int \tilde{g}(t)dt \right]_{t = \tilde{f}(x)} = \int \tilde{g}(\tilde{f}(x))\tilde{f}'(x) dx = \int g(\tilde{f}(x))f'(\tilde{f}(x)) \tilde{f}'(x) dx = \int g(x)f'(f^{-1}(x)) (f^{-1})'(x) dx = \int g(x)\frac{f'(f^{-1}(x))}{f'(f^{-1}(x))}dx = \int g(x) dx\]

L'ipotesi di diffeomorfismo ci è servita per l'invertibilità, la derivabilità dell'inversa e l'iniettività dell'inversa che ci garantisce derivata diversa da zero.

EDIT: Ho spezzato la catena di uguaglianze per rendere più chiaro e corretto un errore

[DavideGenova1]

Quindi in generale l'esistenza del membro destro non implica quella del sinistro, vero?
Della dimostrazione per $f$ differomorfismo, perdonami, ma non mi è chiaro come vedere che \(\int g((f(t))f'(t) f'(t) dt = \left[ \int \tilde{g}(t)dt \right]_{t = \tilde{f}(x)}\) e \(\left[ \int \tilde{g}(t)dt \right]_{t = \tilde{f}(x)} = \int \tilde{g}(\tilde{f}(x))\tilde{f}'(x) dx\)...
$\infty$ grazie ancora, Emar!!!

[Emar1]

"DavideGenova":Quindi in generale l'esistenza del membro destro non implica quella del sinistro, vero?

Il metodo che ti ho proposto io si base sull'applicazione del teorema "al contrario" e quindi è necessario avere f con quella proprietà. Non saprei se ci sono altri metodi.

Normalmente io ho quasi sempre visto richiedere che i cambi di variabili, siano diffeomorfismi. Anche perché nel caso si parli di integrali e non di primitive, dobbiamo trasformare il dominio integrazione con \(f^{-1}\) e quindi è comodo quantomeno che sia invertibile.

"DavideGenova":...come vedere che \(\int g((f(t))f'(t) f'(t) dt = \left[ \int \tilde{g}(t)dt \right]_{t = \tilde{f}(x)}\)

Qui c'è un errore, avevo sbagliato e aggiunto una $f'$ in più. Ora ho sistemato, dovrebbe essere più chiaro.

"DavideGenova":\(\left[ \int \tilde{g}(t)dt \right]_{t = \tilde{f}(x)} = \int \tilde{g}(\tilde{f}(x))\tilde{f}'(x) dx\)

Qui invece ho semplicemente applicato il teorema a \(\tilde{g}\) e \(\tilde{f} = f^{-1}\).

[DavideGenova1]

$\infty$ grazie: ho capito adesso!