Integrazione per serie

[avmarshall]

salve a tutti. ho dei problemi con questo esercizio quando devo integrare per serie.
$ int_(0)^(1) log(1+x)/x dx $
ho scritto l'integranda sviluppando in serie di taylor e mi è venuta:
$ sum_(n = 0)^(oo ) (-1)^n x^n/(n+1) $ per $ -1 ora devo verificare le ipotesi del teorema di integrabilità; dunque:
1- la successione di funzione è continua negli estremi di integrazione (vera)
2-la serie della successione deve convergere uniformemente
ora la 2 mi da problemi poichè ho tentato la strada della convergenza totale. infatti ho calcolato il sup della successione in $ [0,1] $ e mi viene $ 1/(n+1) $ la cui serie diverge e quindi non posso dire niente sulla convergenza uniforme.
ho sbagliato qualcosa?
se non prendo la strada della totale come posso verificare la convergenza uniforme (apparte Cauchy)?
grazie
P.S. sto iniziando ora a fare analisi II e quindi non so ancora destreggiarmi bene con queste cose

[Ziben]

Ciao.
anche io di recente sono incappato in un simile problema, e ti riporto ciò che ho dedotto da quello che mi hanno suggerito. Prova la totale convergenza per ogni intervallo $[-a,a]$ con $a in [0,1)$.
Se vuoi approfondire guarda qui
http://www.matematicamente.it/forum/uniforme-convergenza-di-una-serie-di-funzioni-t86938.html
Del resto la serie delle norme della tua serie è una serie di potenze con raggio di convergenza $1$ e quindi converge uniformemente in ogni intorno $I(0,r)$ con $r<1$ ovvero in ogni intervallo $[-a,a]$ con $a in [0,1)$

[Seneca1]

Oltre quello che ha già scritto Ziben, per far vedere che la serie converge uniformemente, non solo in ogni intervallo $[ 0 , k ] subseteq [0 , 1)$, ma anche in tutto l'intervallo chiuso e limitato $[0,1]$ devi applicare il teorema di Abel e provare che:

$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n * 1/(n+1)$ converge (criterio di Leibniz).

[avmarshall]

quindi se ho ben capito negli esercizi provo la convergenza totale, e se fallisce prendo la successione che mi sono costruito (non il sup della successione come nella totale) e verifico che converge applicando il teorema di Abel?
grazie delle risposte!

[Ziben]

ah già, giusto, quella serie converge anche per $x= pm 1$. Sono andato a leggere il teorema di Abel, che non conoscevo ancora, e ho capito che si applica alle serie di potenze (come questo caso), risultato utile per la convergenza negli estremi dopo aver trovato il raggio di convergenza; mi è così venuta in mente una domanda, se considero una serie di funzioni generica che so convergere uniformemente in un aperto $A$, se riesco a provare che la serie converge in ogni punto di frontiera di $A$ posso dire che converge uniformemente in $B=A uu del A$ (avendo indicato con $del A$ l'insieme dei punti di frontiera di $A$)? Io direi di si poichè, trasformando la serie di funzioni in una serie numerica assegnando un valore alla variabile, convergenza e convergenza uniforme non si distinguono più. Però non ne sono così sicuro, tantomeno del fatto che questa mia conclusione sia valida per le serie di funzioni in generale e non solo per le serie di potenze.