Integrazione per serie
Ciao, sto facendo degli esercizi sull'integrazione per serie ed uno mi dà un po' di noie, nonostante stia usando lo stesso metodo che con gli altri esercizi funziona.
"Dimostrare che:
$int_0^infty(sinx/(e^x-t))dx=sum_(n=0)^infty(t^n/(1+(n+1)^2))$ $AAt in [-1,1]$"
Come ho fatto io:
Se $t in [-1,1]$ allora $t/e^x in [-1,1]$ $(x>=0)$ quindi $sum_(n=0)^infty(t/e^x)^n=1/(e^x-t)$
Quindi:
$int_0^infty(sinx/(e^x-t))dx=int_0^inftysum_(n=0)^infty(sinx(t/e^x)^n)dx=sum_(n=0)^inftyint_0^inftysinx(t/e^x)^ndx$
supponendo che le ipotesi necessarie per lo scambio serie-integrale siano verificate.
Calcolo quindi ogni integrale-addendo. E qui c'è il primo problema, perchè il primo termine della serie è
$int_0^inftysenxdx$ che non so calcolare (e mi verrebbe da dire che non si può calcolare perchè come limite non esiste).
Ma voglio imbrogliare e far finta di non essermene accorta. Calcolo il generico termine:
$t^nint_0^infty(senx)/e^(nx)dx$, integrando per parti due volte ottengo $(t^n)/(1+n^2)$.
Quindi l'integrale della traccia sviluppato in serie diventa $sum_0^infty(t^n)/(1+n^2)$ un po' diverso dal risultato aspettato.
Ora sarei molto grata a chi volesse dirmi se sto sbagliando qualcosa o se è la traccia sbagliata. Io sono su questo esercizio da 1 ora e mezzo e non ci arrivo.
Grazie...e buonanotte a tutti!!!
"Dimostrare che:
$int_0^infty(sinx/(e^x-t))dx=sum_(n=0)^infty(t^n/(1+(n+1)^2))$ $AAt in [-1,1]$"
Come ho fatto io:
Se $t in [-1,1]$ allora $t/e^x in [-1,1]$ $(x>=0)$ quindi $sum_(n=0)^infty(t/e^x)^n=1/(e^x-t)$
Quindi:
$int_0^infty(sinx/(e^x-t))dx=int_0^inftysum_(n=0)^infty(sinx(t/e^x)^n)dx=sum_(n=0)^inftyint_0^inftysinx(t/e^x)^ndx$
supponendo che le ipotesi necessarie per lo scambio serie-integrale siano verificate.
Calcolo quindi ogni integrale-addendo. E qui c'è il primo problema, perchè il primo termine della serie è
$int_0^inftysenxdx$ che non so calcolare (e mi verrebbe da dire che non si può calcolare perchè come limite non esiste).
Ma voglio imbrogliare e far finta di non essermene accorta. Calcolo il generico termine:
$t^nint_0^infty(senx)/e^(nx)dx$, integrando per parti due volte ottengo $(t^n)/(1+n^2)$.
Quindi l'integrale della traccia sviluppato in serie diventa $sum_0^infty(t^n)/(1+n^2)$ un po' diverso dal risultato aspettato.
Ora sarei molto grata a chi volesse dirmi se sto sbagliando qualcosa o se è la traccia sbagliata. Io sono su questo esercizio da 1 ora e mezzo e non ci arrivo.
Grazie...e buonanotte a tutti!!!
Risposte
Penso che il tuo problema derivi tutto dal fatto che hai sbagliato la somma della serie geometrica. Essa è infatti:
$sum_(n=0)^oo (t/e^x)^n=e^x/(e^x-t)$
Il termine generico diventa perciò:
$t^n int_0^oo sinx/e^(nx+x)dx$
Risolvendo questo integrale trovi il risultato richiesto.
$sum_(n=0)^oo (t/e^x)^n=e^x/(e^x-t)$
Il termine generico diventa perciò:
$t^n int_0^oo sinx/e^(nx+x)dx$
Risolvendo questo integrale trovi il risultato richiesto.
Che Niubbata....sigh! grazie mille cmq
Ankio avrei bisogno di un mano...
Come risolvo questo integrale usando il teorema di integrazione per serie??? Con lo sviluppo di Taylor?
Help me
Integrale tra a e b di [t^2 (1 - t^2)]^(-1/3) in dt
Come risolvo questo integrale usando il teorema di integrazione per serie??? Con lo sviluppo di Taylor?
Help me
Integrale tra a e b di [t^2 (1 - t^2)]^(-1/3) in dt
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