Integrazione per serie
Salve a tutti!
Vorrei sapere innanzitutto se secondo voi ho svolto questo esercizio correttamente e poi se magari c'è qualche altra soluzione più efficiente/interessante, possibilmente sempre da Analisi Matematica II
:
Ho proceduto integrando per serie, quindi prima sviluppo in serie la funzione integranda
$$\frac{e^{1/x}-1}{\sqrt{x}} = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n! \, x^{n+1/2}}\quad \forall x \in \mathbb{R}\setminus \{ 0 \}$$
Dopo aver dimostrato la convergenza totale ($\Rightarrow$ convergenza uniforme) della serie di funzioni, assicurandomi la possibilità di integrare termine a termine, procedo:
$\int_1^{+\infty} \frac{e^{1/x}-1}{\sqrt{x}} = \int_1^{+\infty} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n! x^{n+1/2}} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!} \int_1^{+\infty}x^{-n-1/2} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!\cdot(n-1/2)}$
Adesso noto che
$$\frac{1}{n!\,(n-1/2)}\le \frac{1}{n!} \quad \forall n \in \mathbb{N}: n\ge 2 $$
Allora, facendo attenzione a dove "inizia" la sommatoria
$\int_1^{+\infty} \frac{e^{1/x}-1}{\sqrt{x}} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!\cdot(n-1/2)} = 2 + \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n!\cdot(n-1/2)} \le 2 + \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n!} = 2+e-1-1=e$
Conclusione:
$$\int_1^{+\infty} \frac{e^{1/x}-1}{\sqrt{x}} \le e < 6$$
Vorrei sapere innanzitutto se secondo voi ho svolto questo esercizio correttamente e poi se magari c'è qualche altra soluzione più efficiente/interessante, possibilmente sempre da Analisi Matematica II
:Provare che
$$\int_1^{+\infty} \frac{e^{1/x}-1}{\sqrt{x}}\,dx \, \le \, 6$$
Ho proceduto integrando per serie, quindi prima sviluppo in serie la funzione integranda
$$\frac{e^{1/x}-1}{\sqrt{x}} = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n! \, x^{n+1/2}}\quad \forall x \in \mathbb{R}\setminus \{ 0 \}$$
Dopo aver dimostrato la convergenza totale ($\Rightarrow$ convergenza uniforme) della serie di funzioni, assicurandomi la possibilità di integrare termine a termine, procedo:
$\int_1^{+\infty} \frac{e^{1/x}-1}{\sqrt{x}} = \int_1^{+\infty} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n! x^{n+1/2}} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!} \int_1^{+\infty}x^{-n-1/2} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!\cdot(n-1/2)}$
Adesso noto che
$$\frac{1}{n!\,(n-1/2)}\le \frac{1}{n!} \quad \forall n \in \mathbb{N}: n\ge 2 $$
Allora, facendo attenzione a dove "inizia" la sommatoria
$\int_1^{+\infty} \frac{e^{1/x}-1}{\sqrt{x}} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!\cdot(n-1/2)} = 2 + \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n!\cdot(n-1/2)} \le 2 + \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n!} = 2+e-1-1=e$
Conclusione:
$$\int_1^{+\infty} \frac{e^{1/x}-1}{\sqrt{x}} \le e < 6$$
Risposte
Ciao ValeForce,
La soluzione proposta mi pare corretta.
La soluzione proposta mi pare corretta.
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