Integrazione per parti per funzioni di 2 (o più) variabili
Partiamo dalla nota formula per il caso di funzioni in una sola variabile
$\intf(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\intf'(x)g(x)dx$ (1)
che si ricava sfruttando la regola di derivazione del prodotto di due funzioni, ossia
$\frac{}{\partial x}\partial (f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
che integrata dà appunto la (1)
Nel caso di funzioni in due variabili indipendenti x,y, ragionando in modo analogo mi verrebbe da dire che:
$\frac{}{\partial x}\partial (f(x,y)g(x,y))+\frac{}{\partial y}\partial (f(x,y)g(x,y))=g(x,y)\frac{}{\partial x}\partial f(x,y)+f(x,y)\frac{}{\partial x}\partial g(x,y)+g(x,y)\frac{}{\partial y}\partial f(x,y)+f(x,y)\frac{}{\partial y}\partial g(x,y)$
che, raccogliendo ed integrando mi porterebbe ad avere:
$\int int f(x,y)(frac{}{\partial x}\partial g(x,y)+frac{}{\partial y}\partial g(x,y)) dxdy=f(x,y)g(x,y)-\int int g(x,y)(frac{}{\partial x}\partial f(x,y)+frac{}{\partial y}\partial f(x,y)) dxdy$ (2)
$\intf(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\intf'(x)g(x)dx$ (1)
che si ricava sfruttando la regola di derivazione del prodotto di due funzioni, ossia
$\frac{}{\partial x}\partial (f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
che integrata dà appunto la (1)
Nel caso di funzioni in due variabili indipendenti x,y, ragionando in modo analogo mi verrebbe da dire che:
$\frac{}{\partial x}\partial (f(x,y)g(x,y))+\frac{}{\partial y}\partial (f(x,y)g(x,y))=g(x,y)\frac{}{\partial x}\partial f(x,y)+f(x,y)\frac{}{\partial x}\partial g(x,y)+g(x,y)\frac{}{\partial y}\partial f(x,y)+f(x,y)\frac{}{\partial y}\partial g(x,y)$
che, raccogliendo ed integrando mi porterebbe ad avere:
$\int int f(x,y)(frac{}{\partial x}\partial g(x,y)+frac{}{\partial y}\partial g(x,y)) dxdy=f(x,y)g(x,y)-\int int g(x,y)(frac{}{\partial x}\partial f(x,y)+frac{}{\partial y}\partial f(x,y)) dxdy$ (2)
Risposte
La "struttura" della (2) ricalca quella della (1), e in qualche modo questo mi potrebbe far pensare che quanto scritto sia giusto, senonché ho trovato nel libro in cui sto studiando (e in cui la questione è riportata un pò sbrigativamente) che:
Nel caso di integrali doppi, la formula di integrazione per parti si può ottenere dall'uguaglianza:
$\int int (u(delw)/(delx)+v(delw)/(dely)) dxdy=\int int((del(uw))/(delx)+(del(vw))/(dely))dxdy-\int int w((delu)/(delx)+v(delv)/(dely)) dxdy$ (3)
e, applicando il teorema di Green al primo integrale a destra della (3) permette di ottenere:
$\int int (u(delw)/(delx)+v(delw)/(dely)) dxdy=\intw(-vdx+udy)-\int int w((delu)/(delx)+v(delv)/(dely)) dxdy$
I passaggi mi sono assolutamente chiari, ma il dubbio viene dall'integrale di partenza (i.e. il termine a sinistra nella (3)); perchè è necessario avere 3 funzioni (u,v,w) quando il prodotto, almeno intuitivamente (ma anche in analogia con la (1), dovrebbe coinvolgere 2 funzioni?
L'unica spiegazione che mi son dato, peraltro molto "debole" dal punto di vista matematico, è che se nel caso di 1 variabile devo avere 2 funzioni per "fare" un prodotto, nel caso di 2 variabili (indipendenti) devo avere 3 funzioni; e a questo punto nel caso di n variabili dovrei avere coinvolte n+1 funzioni.
Ma perchè poi dovrebbe valere questa "regola"?
Se qualcuno potesse chiarirmi questa cosa gliene sarei grato
Nel caso di integrali doppi, la formula di integrazione per parti si può ottenere dall'uguaglianza:
$\int int (u(delw)/(delx)+v(delw)/(dely)) dxdy=\int int((del(uw))/(delx)+(del(vw))/(dely))dxdy-\int int w((delu)/(delx)+v(delv)/(dely)) dxdy$ (3)
e, applicando il teorema di Green al primo integrale a destra della (3) permette di ottenere:
$\int int (u(delw)/(delx)+v(delw)/(dely)) dxdy=\intw(-vdx+udy)-\int int w((delu)/(delx)+v(delv)/(dely)) dxdy$
I passaggi mi sono assolutamente chiari, ma il dubbio viene dall'integrale di partenza (i.e. il termine a sinistra nella (3)); perchè è necessario avere 3 funzioni (u,v,w) quando il prodotto, almeno intuitivamente (ma anche in analogia con la (1), dovrebbe coinvolgere 2 funzioni?
L'unica spiegazione che mi son dato, peraltro molto "debole" dal punto di vista matematico, è che se nel caso di 1 variabile devo avere 2 funzioni per "fare" un prodotto, nel caso di 2 variabili (indipendenti) devo avere 3 funzioni; e a questo punto nel caso di n variabili dovrei avere coinvolte n+1 funzioni.
Ma perchè poi dovrebbe valere questa "regola"?
Se qualcuno potesse chiarirmi questa cosa gliene sarei grato
Ovviamente mi sono chiesto, perchè non partire dalla (3) con 2 funzioni (f(x,y) e g(x,y))invece che con 3, e ragionare in modo analogo:
$\int int f*(delg)/(delx)+f*(delg)/(dely) dxdy=\int int f((delg)/(delx)+(delg)/(dely)) dxdy=\int int((del(fg))/(delx)+(del(fg))/(dely))dxdy-\int int(g*(delf)/(delx)+g*(delf)/(dely))dxdy$
dunque:
$\int int f((delg)/(delx)+(delg)/(dely)) dxdy=\int int((del(fg))/(delx)+(del(fg))/(dely))dxdy-\int int(g*((delf)/(delx)+(delf)/(dely))dxdy$ (4)
che, a meno di sviste, mi sembra formalmente corretta.
Il problema è che al primo integrale di destra della (4) non so se posso applicare il teorema di Green come fatto per l'integrale della (3), perchè questa volta ho due termini uguali (ossia $f*g$) mentre prima avevo $u*w$ e $v*w$
Nel caso sia possibile (ma il DUBBIO è forte) avrei che:
$\int int((del(fg))/(delx)+(del(fg))/(dely))dxdy=\int(-fgdx+fgdy)=\intfg(-dx+dy)$
per cui la (4) diventerebbe:
$\int int f((delg)/(delx)+(delg)/(dely)) dxdy=\intfg(-dx+dy)-\int int(g*((delf)/(delx)+(delf)/(dely))dxdy$ (5)
che differisce dalla (2) proprio nel termine calcolato tramite il teorema di Green.
La domanda che quindi vi faccio è questa: quale è la versione giusta?
E, se l'unica corretta è la (3), perchè devo per forza avere 3 funzioni?
$\int int f*(delg)/(delx)+f*(delg)/(dely) dxdy=\int int f((delg)/(delx)+(delg)/(dely)) dxdy=\int int((del(fg))/(delx)+(del(fg))/(dely))dxdy-\int int(g*(delf)/(delx)+g*(delf)/(dely))dxdy$
dunque:
$\int int f((delg)/(delx)+(delg)/(dely)) dxdy=\int int((del(fg))/(delx)+(del(fg))/(dely))dxdy-\int int(g*((delf)/(delx)+(delf)/(dely))dxdy$ (4)
che, a meno di sviste, mi sembra formalmente corretta.
Il problema è che al primo integrale di destra della (4) non so se posso applicare il teorema di Green come fatto per l'integrale della (3), perchè questa volta ho due termini uguali (ossia $f*g$) mentre prima avevo $u*w$ e $v*w$
Nel caso sia possibile (ma il DUBBIO è forte) avrei che:
$\int int((del(fg))/(delx)+(del(fg))/(dely))dxdy=\int(-fgdx+fgdy)=\intfg(-dx+dy)$
per cui la (4) diventerebbe:
$\int int f((delg)/(delx)+(delg)/(dely)) dxdy=\intfg(-dx+dy)-\int int(g*((delf)/(delx)+(delf)/(dely))dxdy$ (5)
che differisce dalla (2) proprio nel termine calcolato tramite il teorema di Green.
La domanda che quindi vi faccio è questa: quale è la versione giusta?
E, se l'unica corretta è la (3), perchè devo per forza avere 3 funzioni?
Nessuno che abbia qualche suggerimento/commento? 
Non capisco per quale motivo dovrebbe valere la seguente relazione:
$(del(fg))/(delx)+(del(fg))/(dely)=g-(delf)/(delx)+f-(delg)/(delx)+g-(delf)/(dely)+f-(delg)/(dely)$
Per esempio, sostituendo $f(x,y)=x$ e $g(x,y)=y$ per non fare un caso troppo banale, non torna.
$(del(fg))/(delx)+(del(fg))/(dely)=g-(delf)/(delx)+f-(delg)/(delx)+g-(delf)/(dely)+f-(delg)/(dely)$
Per esempio, sostituendo $f(x,y)=x$ e $g(x,y)=y$ per non fare un caso troppo banale, non torna.
A quale formula ti riferisci? Non mi sembra di aver scritto una cosa del genere 
"lobacevskij":
Partiamo dalla nota formula per il caso di funzioni in una sola variabile
$\intf(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\intf'(x)g(x)dx$ (1)
che si ricava sfruttando la regola di derivazione del prodotto di due funzioni, ossia
$\frac{}{\partial x}\partial (f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
che integrata dà appunto la (1)
Nel caso di funzioni in due variabili indipendenti x,y, ragionando in modo analogo mi verrebbe da dire che:
$\frac{}{\partial x}\partial (f(x,y)g(x,y))+\frac{}{\partial y}\partial (f(x,y)g(x,y))=g(x,y)\frac{}{\partial x}\partial f(x,y)+f(x,y)\frac{}{\partial x}\partial g(x,y)+g(x,y)\frac{}{\partial y}\partial f(x,y)+f(x,y)\frac{}{\partial y}\partial g(x,y)$
che, raccogliendo ed integrando mi porterebbe ad avere:
$\int int f(x,y)(frac{}{\partial x}\partial g(x,y)+frac{}{\partial y}\partial g(x,y)) dxdy=f(x,y)g(x,y)-\int int g(x,y)(frac{}{\partial x}\partial f(x,y)+frac{}{\partial y}\partial f(x,y)) dxdy$ (2)
La terza formula del tuo primo intervento. Probabilmente hai avuto un problema con l'editor, mi sembrava di poterla interpretare come ho scritto.
Ah, no no...non vanno interpretati come meno ma come prodotti
$f(x,y)\frac{}{\partial y}\partial g(x,y)$ è $f(x,y)(delg(x,y))/(dely)$
In effetti il primo post l'ho editato, chissà perchè poi, usano il comando "frac{}{\partial }" e non il più comodo "del"
Per il resto, come ti sembra il ragionamento?
$f(x,y)\frac{}{\partial y}\partial g(x,y)$ è $f(x,y)(delg(x,y))/(dely)$
In effetti il primo post l'ho editato, chissà perchè poi, usano il comando "frac{}{\partial }" e non il più comodo "del"
Per il resto, come ti sembra il ragionamento?
Spulciando qua e là ho trovato questo argomento interessante:
http://it.wikipedia.org/wiki/Integrazione_per_parti
(sul fondo c'è la parte di interesse). L'affidabilità di wiki non è il massimo, ma su suggerimento di Dissonance avevo guardato anche su "Partial Differential Eq." dell'Evans e la formula è la stessa, quindi l'attendibilità è dimostrata.
La formula che più mi interessa è la prima (riportata nel paragrafo "Più dimensioni"; al momento non riesco a scriverla perchè sembrano esserci problemi nell'editor delle formule), che se da una parte mi piace, nel senso che prende in considerazione solo 2 funzioni (e non 3 come quella riportata nel libro di cui parlavo in uno dei precedenti post), dall'altro non mi soddisfa perchè c'è quella componente del vettore che mi disturba non poco, non riuscendo bene a focalizzare il perchè compaia.
Se qualcuno volesse farmi un esempio, anche banale, giusto per vedere come applicarla, gliene sarei grato.
Intanto proverò a crearmene uno io ed eventualmente lo posterò per sentire il vostro parere.
OT
PS: vista la scarsissima partecipazione al topic, in pratica è come se parlassi ad alta voce con me stesso...potenza di internet
http://it.wikipedia.org/wiki/Integrazione_per_parti
(sul fondo c'è la parte di interesse). L'affidabilità di wiki non è il massimo, ma su suggerimento di Dissonance avevo guardato anche su "Partial Differential Eq." dell'Evans e la formula è la stessa, quindi l'attendibilità è dimostrata.
La formula che più mi interessa è la prima (riportata nel paragrafo "Più dimensioni"; al momento non riesco a scriverla perchè sembrano esserci problemi nell'editor delle formule), che se da una parte mi piace, nel senso che prende in considerazione solo 2 funzioni (e non 3 come quella riportata nel libro di cui parlavo in uno dei precedenti post), dall'altro non mi soddisfa perchè c'è quella componente del vettore che mi disturba non poco, non riuscendo bene a focalizzare il perchè compaia.
Se qualcuno volesse farmi un esempio, anche banale, giusto per vedere come applicarla, gliene sarei grato.
Intanto proverò a crearmene uno io ed eventualmente lo posterò per sentire il vostro parere.
OT
PS: vista la scarsissima partecipazione al topic, in pratica è come se parlassi ad alta voce con me stesso...potenza di internet
Per comodità supponiamo che $u,v$ siano funzioni regolari fin sulla frontiera degli insiemi cui sono estesi gli integrali.
Inoltre, supponiamo che il lettore abbia almeno i rudimenti della teoria dell'integrazione astratta.
Confrontiamo la formula "in una variabile":
\[ \tag{1} \int_a^b u^\prime(x)\ v(x)\ \text{d} x + \int_a^b u(x)\ v^\prime (x)\ \text{d} x= [u(x)\ v(x)]_a^b\]
con la formula "in $N$ variabili":
\[ \tag{2} \int_\Omega u_i(x)\ v(x)\ \text{d} x +\int_\Omega u(x)\ v_i(x)\ \text{d} x=\int_{\partial \Omega} u(x)\ v(x)\ \nu_i\ \text{d} \mathcal{H}^{N-1} \; ,\]
ove, è bene ricordarlo:
Inoltre, supponiamo che il lettore abbia almeno i rudimenti della teoria dell'integrazione astratta.
Confrontiamo la formula "in una variabile":
\[ \tag{1} \int_a^b u^\prime(x)\ v(x)\ \text{d} x + \int_a^b u(x)\ v^\prime (x)\ \text{d} x= [u(x)\ v(x)]_a^b\]
con la formula "in $N$ variabili":
\[ \tag{2} \int_\Omega u_i(x)\ v(x)\ \text{d} x +\int_\Omega u(x)\ v_i(x)\ \text{d} x=\int_{\partial \Omega} u(x)\ v(x)\ \nu_i\ \text{d} \mathcal{H}^{N-1} \; ,\]
ove, è bene ricordarlo:
[*:28hb7tb2] i pedici accanto a funzioni denotano derivazione parziale, e.g. $u_i(x):=\frac{\partial u}{\partial x_i}(x)$;[/*:m:28hb7tb2]
[*:28hb7tb2]$\nu_i$ è la $i$-esima componente del campo di versori normali esterni a $\partial \Omega$ -che è supposta sufficientemente regolare-, il quale è un'applicazione $\nu:\partial \Omega \to \mathbb{S}^{N-1}$ -sufficientemente regolare anch'essa- dotata di alcune belle proprietà (che ora non ci serve richiamare);[/*:m:28hb7tb2]
[*:28hb7tb2]$\mathcal{H}^{N-1}$ è una -tra le varie possibili- "misura di superficie" in $\mathbb{R}^N$, detta misura di Hausdorff $(N-1)$-dimensionale.[/*:m:28hb7tb2][/list:u:28hb7tb2]
Innanzitutto notiamo che i segni ci vanno "bene", nel senso che essi si presentano in (2) nella stessa sequenza in cui si presentano in (1).
Anche le derivate sono a loro posto, fatto salvo che l'operatore \(^\prime\) presente in (1) è rimpiazzato in (2) dall'operatore di derivazione parziale \( \frac{\partial }{\partial x_i}\).
L'unica cosa che può sembrare spiazzante è la presenza di un integrale a secondo membro di (2) al posto dell'usuale (e rassicurante!) "variazione negli estremi" che figura a secondo membro di (1)... Ciò, però, non è poi così strano!
Infatti, cerchiamo di manipolare un po' la variazione negli estremi \([u(x)\ v(x)]_a^b\): evidentemente, detta \(\#\) la misura che conta gli elementi, si può scrivere:
\[\tag{3} [u(x)\ v(x)]_a^b=u(b)v(b)-u(a)v(a)=\int_{\{ b\}} u(x)\ v(x)\ \text{d} \# -\int_{\{ a\}} u(x)\ v(x)\ \text{d} \# \; ;\]
posto per definizione:
\[ \tag{4} \nu_1(x):=\begin{cases} 1 &\text{, se } x=b \\ -1 &\text{, se } x=a\end{cases} \; ,\]
la (3) si riscrive nella forma più compatta:
\[ [u(x)\ v(x)]_a^b=\int_{\{ a,b\}} u(x)\ v(x)\ \nu_1\ \text{d} \# \; ,\]
quindi in qualche modo anche il secondo membro di (1) può essere interpretato come integrale esteso al bordo dell'insieme di definizione (poiché $\partial [a,b]=\{ a,b\}$) e ciò rende ancora più evidente l'analogia col secondo membro di (2); infine, se si tiene presente che \(\mathcal{H}^0=\#\) (ossia che la misura di Hausdorff $0$-dimensionale è proprio la misura che conta), è evidente che la precedente diviene:
\[ \tag{5} [u(x)\ v(x)]_a^b=\int_{\{ a,b\}} u(x)\ v(x)\ \nu_1\ \text{d} \mathcal{H}^0 \; ,\]
ed il secondo membro di (5) coincide con il secondo membro di (2) con $N=1$ ed $\Omega=[a,b]$.
L'ultima cosa che manca è dare un'interpretazione sensata del simbolo $\nu_1$ introdotto in (4) per pura voglia di "compattare" una formula troppo lunga.
Dato che $[a,b]$ è contenuto in uno spazio $1$-dimensionale, il campo di versori normali esterni a $\partial [a,b]=\{ a,b\}$ è un'applicazione $\nu:\{ a,b\} \to \mathbb{S}^0=\{ \pm 1\}$: infatti, se si pensa $[a,b]$ rappresentato sulla retta reale (orientata al modo solito), è chiaro che il versore normale esterno $\nu$ a $\partial [a,b]$ debba essere parallelo al versore $\text{e}^1$ dell'asse orientato; conseguentemente $\pm \text{e}^1$ sono gli unici due possibili valori per $\nu$ e perciò $\nu$ si può rappresentare anche scegliendo solo uno dei valori $\pm 1$ (insomma, detto in parole povere, su una retta orientata ci si può muovere solo in due versi: nel verso prescelto positivo -corrispondente a $+1$, o in quello opposto, corrispondente a $-1$). A questo punto, basta fare un disegnino per capire la (4) e perchè essa fornisca proprio il versore normale esterno a $\partial [a,b]$:
[asvg]xmin=-1;xmax=3;ymin=-2;ymax=2;
axes();
stroke="red"; strokewidth=2; marker="dot";
line([0,0],[2,0]);
stroke="blue"; strokewidth=2; marker="arrow";
line([2,0],[3,0]);
stroke="violet"; strokewidth=2; marker="arrow";
line([0,0],[-1,0]);
text([0,0],"a",belowleft); text([2,0],"b",belowright); text([2.5,0],"+1",above); text([-0.5,0],"-1",above);[/asvg]
P.S.: Mi scuso se il post non è il massimo della chiarezza, ma in questi giorni sono preso da ben altri problemi.
Diciamo che ho voluto gettare una pietruzza nello stagno.
Nono, al contrario, è di una chiarezza disarmante, e il parallelo tra le due equazioni è veramente perfetto (sono cose come queste che mi fanno amare la matematica ).
Resta il fatto che bene o male sono rimasti irrisolti i quesiti che ponevo nei miei primi tre post
Dunque, assodato che la forma in N variabili - chiamiamola (2G - con G che sta per Gugo) per non confonderla con quelle introdotte da me - è corretta, mi rimane da capire se nel caso N=2 essa equivalga alla mia (2), alla mia (5) o a una che non ho scritto e che mi piacerebbe capire come si ricava.
).Resta il fatto che bene o male sono rimasti irrisolti i quesiti che ponevo nei miei primi tre post
Dunque, assodato che la forma in N variabili - chiamiamola (2G - con G che sta per Gugo
) per non confonderla con quelle introdotte da me - è corretta, mi rimane da capire se nel caso N=2 essa equivalga alla mia (2), alla mia (5) o a una che non ho scritto e che mi piacerebbe capire come si ricava.
La tua (2) non ha senso (che cos'è un integrale indefinito per funzioni di più variabili?).
Per il resto, la presenza di una funzione "in più" nella (3) credo si spieghi semplicemente col fatto che essa cerca di essere un po' più generale, comprendendendo contemporaneamente la derivazione rispetto a tutte e due le variabili.
Nel caso $N$-dimensionale la formula del tuo libro si leggerebbe:
\[ \int_\Omega \sum_{i=1}^N u^i(x)\ \frac{\partial w}{\partial x_i}(x)\ \text{d} x +\int_{\Omega} \sum_{i=1}^N \frac{\partial u^i}{\partial x_i}(x)\ w(x)\ \text{d} x= \int_{\partial \Omega} \sum_{i=1}^N u^i(x)\ w(x)\ \nu_j\ \text{d} \mathcal{H}^{N-1}\]
(qui gli apici non denotano derivazione, ma sono dei semplici indici); la tua (3) è la precedente quando $N=2$ (ed ovviamente $u^1=u,\ u^2=v$).
Introducendo un po' di simboli mutuati dal Calcolo Vettoriale, cioè il prodotto scalare \(\langle \cdot ,\cdot \rangle\), il campo vettoriale $u(x):=(u^1(x),\ldots ,u^N(x))$, il simbolo $\nabla$ di gradiente e la divergenza \(\text{div} u(x):=\sum_{i=1}^N \frac{\partial u^i}{\partial x_i}(x)\), la precedente si riscrive in maniera compatta come segue:
\[ \int_{\Omega} \langle u(x),\nabla w(x)\rangle \ \text{d} x + \int_\Omega \text{div} u(x)\ w(x)\ \text{d} x=\int_{\partial \Omega} \langle u(x),\nu\rangle\ w(x)\ \text{d} x \; .\]
Nota che la quantità al secondo membro è un integrale pesato rispetto a $w$ (e la lettera $w$, che è l'iniziale di weigth, è usata proprio perchè quella funzione può essere interpretata come "peso") del flusso \(\Phi := \langle u,\nu \rangle\) del campo $u$ uscente da $\partial \Omega$.
In particolare, se $w(x)=1$, dalla precedente ricavi il noto teorema della divergenza, i.e.:
\[ \int_\Omega \text{div} u(x)\ \text{d} x=\int_{\partial \Omega} \langle u(x),\nu\rangle\ \text{d} x \; .\]
Per il resto, la presenza di una funzione "in più" nella (3) credo si spieghi semplicemente col fatto che essa cerca di essere un po' più generale, comprendendendo contemporaneamente la derivazione rispetto a tutte e due le variabili.
Nel caso $N$-dimensionale la formula del tuo libro si leggerebbe:
\[ \int_\Omega \sum_{i=1}^N u^i(x)\ \frac{\partial w}{\partial x_i}(x)\ \text{d} x +\int_{\Omega} \sum_{i=1}^N \frac{\partial u^i}{\partial x_i}(x)\ w(x)\ \text{d} x= \int_{\partial \Omega} \sum_{i=1}^N u^i(x)\ w(x)\ \nu_j\ \text{d} \mathcal{H}^{N-1}\]
(qui gli apici non denotano derivazione, ma sono dei semplici indici); la tua (3) è la precedente quando $N=2$ (ed ovviamente $u^1=u,\ u^2=v$).
Introducendo un po' di simboli mutuati dal Calcolo Vettoriale, cioè il prodotto scalare \(\langle \cdot ,\cdot \rangle\), il campo vettoriale $u(x):=(u^1(x),\ldots ,u^N(x))$, il simbolo $\nabla$ di gradiente e la divergenza \(\text{div} u(x):=\sum_{i=1}^N \frac{\partial u^i}{\partial x_i}(x)\), la precedente si riscrive in maniera compatta come segue:
\[ \int_{\Omega} \langle u(x),\nabla w(x)\rangle \ \text{d} x + \int_\Omega \text{div} u(x)\ w(x)\ \text{d} x=\int_{\partial \Omega} \langle u(x),\nu\rangle\ w(x)\ \text{d} x \; .\]
Nota che la quantità al secondo membro è un integrale pesato rispetto a $w$ (e la lettera $w$, che è l'iniziale di weigth, è usata proprio perchè quella funzione può essere interpretata come "peso") del flusso \(\Phi := \langle u,\nu \rangle\) del campo $u$ uscente da $\partial \Omega$.
In particolare, se $w(x)=1$, dalla precedente ricavi il noto teorema della divergenza, i.e.:
\[ \int_\Omega \text{div} u(x)\ \text{d} x=\int_{\partial \Omega} \langle u(x),\nu\rangle\ \text{d} x \; .\]
Grazie, sulla (3) mi hai chiarito un bel pò le idee.
Eheheh, so che avrei dovuto mettere il dominio d'integrazione, ma non riuscivo ad editarlo (ora credo di aver imparato):P
Ma, a parte questo, per il resto è sbagliata? (vedi ragionamento seguente)
Comunque la cosa che non capisco è un'altra:
*premetto che tutti gli integrali doppi che ho precedentemente scritto sono da intendersi valutati su una certa regione $\Omega$ come pure gli integrali "singoli" che vanno intesi sulla frontiera $\delOmega$ di $\Omega$
Orbene, la (2) è quella che meno mi convince, ma non saprei dire dov'è l'errore; voglio dire, i passaggi che ho scritto nel ricavarla mi sembrano formalmente giusti. Comunque sia, due dei suoi tre termini concordano con quelli che si ricavano dalla (2G) per N=2, mentre differiscono per:
$f(x,y)g(x,y)$ della (2) invece del $\int_{\partial \Omega} u(x)\ v(x)\ \nu_i\ \text{d} \mathcal{H}^{N-1}$ della (2G)
Per quanto riguarda la (5), ricavata ragionando in modo analogo a quanto fatto per risalire alla (3), anche per essa due dei suoi tre termini concordano con quelli che si ricavano dalla (2G) per N=2, mentre differiscono per:
$\int_\(delOmega)[-f(x,y)g(x,y)dx+f(x,y)g(x,y)dy]$ ossia $\int_\(delOmega)f(x,y)g(x,y)(-dx+dy)$ della (5) invece del $\int_{\partial \Omega} u(x)\ v(x)\ \nu_i\ \text{d} \mathcal{H}^{N-1}$ della (2G)
E' evidente la somiglianza tra il termine della (5) e il termine della (2G), quindi dovendomi sbilanciare opterei senz'altro per la correttezza della (5)e non della (2), solo che non saprei giustificare "matematicamente" questa mia scelta.
In buona sostanza, non riesco a capire come si scrive, per N=2 il famigerato termine $\int_{\partial \Omega} u(x)\ v(x)\ \nu_i\ \text{d} \mathcal{H}^{N-1}$; insomma, se $u(x)=f(x,y)$ e $v(x)=g(x,y)$ , non riesco a capire cosa diventano $\nu_i\$ e $\text{d} \mathcal{H}$. Una volta capito, cioè una volta riscritta la (2G) per N=2, potrò quindi dire se coincide con la (2) con la (5) oppure con nessuna delle due (e in questo caso però mi piacerebbe pure capire gli errori che ho commesso nel formularle)
PS: grazie per la pazienza nelle spiegazioni. Hai un futuro da professore
"gugo82":
La tua (2) non ha senso (che cos'è un integrale indefinito per funzioni di più variabili?)
Eheheh, so che avrei dovuto mettere il dominio d'integrazione, ma non riuscivo ad editarlo (ora credo di aver imparato):P
Ma, a parte questo, per il resto è sbagliata? (vedi ragionamento seguente)
Comunque la cosa che non capisco è un'altra:
*premetto che tutti gli integrali doppi che ho precedentemente scritto sono da intendersi valutati su una certa regione $\Omega$ come pure gli integrali "singoli" che vanno intesi sulla frontiera $\delOmega$ di $\Omega$
Orbene, la (2) è quella che meno mi convince, ma non saprei dire dov'è l'errore; voglio dire, i passaggi che ho scritto nel ricavarla mi sembrano formalmente giusti. Comunque sia, due dei suoi tre termini concordano con quelli che si ricavano dalla (2G) per N=2, mentre differiscono per:
$f(x,y)g(x,y)$ della (2) invece del $\int_{\partial \Omega} u(x)\ v(x)\ \nu_i\ \text{d} \mathcal{H}^{N-1}$ della (2G)
Per quanto riguarda la (5), ricavata ragionando in modo analogo a quanto fatto per risalire alla (3), anche per essa due dei suoi tre termini concordano con quelli che si ricavano dalla (2G) per N=2, mentre differiscono per:
$\int_\(delOmega)[-f(x,y)g(x,y)dx+f(x,y)g(x,y)dy]$ ossia $\int_\(delOmega)f(x,y)g(x,y)(-dx+dy)$ della (5) invece del $\int_{\partial \Omega} u(x)\ v(x)\ \nu_i\ \text{d} \mathcal{H}^{N-1}$ della (2G)
E' evidente la somiglianza tra il termine della (5) e il termine della (2G), quindi dovendomi sbilanciare opterei senz'altro per la correttezza della (5)e non della (2), solo che non saprei giustificare "matematicamente" questa mia scelta.
In buona sostanza, non riesco a capire come si scrive, per N=2 il famigerato termine $\int_{\partial \Omega} u(x)\ v(x)\ \nu_i\ \text{d} \mathcal{H}^{N-1}$; insomma, se $u(x)=f(x,y)$ e $v(x)=g(x,y)$ , non riesco a capire cosa diventano $\nu_i\$ e $\text{d} \mathcal{H}$. Una volta capito, cioè una volta riscritta la (2G) per N=2, potrò quindi dire se coincide con la (2) con la (5) oppure con nessuna delle due (e in questo caso però mi piacerebbe pure capire gli errori che ho commesso nel formularle)
PS: grazie per la pazienza nelle spiegazioni. Hai un futuro da professore
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