Integrazione per parti equazione differenziale

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Ciao a tutti
ho un'equazione differenziale da risolvere con l'integrazione per parti. Credo di non aver fatto errori di calcolo, ma mi blocco arrivato ad un certo punto quando devo esplicitare la y.

$ y'=(2-y^2+y)/(y-1)*1/x =>$ $ dy/dx=(2-y^2+y)/(y-1)*1/x $ $=> int (y-1)/(2-y^2+y) dy = int dx/x $ $=> int (y-1)/(-y^2+y+2) dy = log|x|+c $ $ =>-int (y-1)/(y^2-y-2) dy = log|x|+c $

\( \triangle =1-4(-2)=9 \)
$ y_1=(1-3)/2=-1 $
$ y_2=(1+3)/2=2 $

$ -int (y-1)/((y+1)(y-2)) dy = log|x|+c $ $=> -(int A/(y+1) dy + int B/(y-2) dy) = log|x|+c $

$ A(y-2)+B(y+1)=Ay-2A+By+B= $
$ =y(A+B)-2A+B $
$ { ( A+B=1 ),( -2A+B=-1 ):} $
$ { ( A=1-B ),( -2(1-B)+B=-1 ):} $
$ { ( A=1-B ),( -2+2B+B=-1 ):} $
$ { ( A=1-B ),( 3B=1 ):} $
$ { ( A=1-1/3 ),( B=1/3 ):} $
$ { ( A=2/3 ),( B=1/3 ):} $

$ -int 2/(3(y+1))dy -int dy/(3(y-2))=log|x|+c $ => $ -1/3(2log|y+1|+log|y-2|)=log|x|+c $ $ =>2log|y+1|+log|y-2|=-3log|x|+c $ $ =>log(y+1)^2+log|y-2|=-3log|x|+c $ $ =>(y+1)^2*(y-2)=e^(-3log|x|+c) $ $ =>(y^2+2y+1)*(y-2)=e^(-3log|x|+c) $
$ =>y^3-3y-2=e^(-3log|x|+c) $
Quest ultimo è il passaggio in cui mi sono bloccato, sapreste darmi una mano perché non so proprio come proseguire. Vi ringrazio molto.

[walter891]

La teoria insegna che non è sempre possibile esplicitare la soluzione, se non si riesce a farlo l'esercizio termina prima.
Volendo si può fare un ulteriore passaggio per "abbellire l'estetica" cioè $y^3-3y-2=c|x|^(-3)$ perchè le manipolazioni sulla costante sono ininfluenti.
Comunque non vedo nessuna integrazione per parti, semmai si tratta di integrazione per fratti semplici

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Ok, chiaro.
Intendevo quelle a variabili separabili XD
Ti ringrazio