Integrazione per parti applicato ad integrale definito
Salve ragazzi,
mi sto chiedendo se difronte ad un integrale definito il metodo per parti (la sua definizione e la sua applicazione) deve in qualche modo essere adeguato all'integrale definito, cioè deve tener conto dell'intervallo anche nei passi intermedi!
La definizione del metodo è la seguente: $f(x)*g(x) - intg(x)*f'(x)$
L'integrale nella definizione diventa anch'esso definito? rispettando dunque l'intervallo di integrazione?
Ecco un esempio, che spero serva ad agevolare le vostre sempre utili spiegazioni
Ho la seguente funzione integranda: $x sen x$, l'integrale presenta l'intervallo [0, pigreca]
L'impostazione che propongo è la seguente:
- fattore finito: $f(x)=x$;
- fattore differenziale: $g(x)=intsen x dx$
Ora tornando alla domanda di prima, come devo procedere nell'applicazione dell'integrazione per parti?
Grazie anticipatamente.
mi sto chiedendo se difronte ad un integrale definito il metodo per parti (la sua definizione e la sua applicazione) deve in qualche modo essere adeguato all'integrale definito, cioè deve tener conto dell'intervallo anche nei passi intermedi!
La definizione del metodo è la seguente: $f(x)*g(x) - intg(x)*f'(x)$
L'integrale nella definizione diventa anch'esso definito? rispettando dunque l'intervallo di integrazione?
Ecco un esempio, che spero serva ad agevolare le vostre sempre utili spiegazioni
Ho la seguente funzione integranda: $x sen x$, l'integrale presenta l'intervallo [0, pigreca]
L'impostazione che propongo è la seguente:
- fattore finito: $f(x)=x$;
- fattore differenziale: $g(x)=intsen x dx$
Ora tornando alla domanda di prima, come devo procedere nell'applicazione dell'integrazione per parti?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Semplicemente $int_a^bg'(x)*f(x)dx=[f(x)*g(x)]_a^b - int_a^bg(x)*f'(x)dx$
Ok grazie mille!
Nel momento in cui l'integrazione per parti mi fa giungere ad una funzione primitiva della funzione integranda, devo applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale $F(b)-F(a)$ ottenendo così il risultato dell'integrale definito?
Nel momento in cui l'integrazione per parti mi fa giungere ad una funzione primitiva della funzione integranda, devo applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale $F(b)-F(a)$ ottenendo così il risultato dell'integrale definito?
Si, cioè qui avrai:
$int_a^bg'(x)*f(x)dx=[f(x)*g(x)]_a^b - int_a^bg(x)*f'(x)dx=$
$=int_a^bg'(x)*f(x)dx=f(b)*g(b)-f(a)*g(a) - int_a^bg(x)*f'(x)dx$
$int_a^bg'(x)*f(x)dx=[f(x)*g(x)]_a^b - int_a^bg(x)*f'(x)dx=$
$=int_a^bg'(x)*f(x)dx=f(b)*g(b)-f(a)*g(a) - int_a^bg(x)*f'(x)dx$
Ok grazie..molto gentile
Ho un'ultima domanda...mi aiuteresti nella risoluzione di questo integrale definito?
$ int_0^pi x^2 cos(x/2) dx $
Mi "accontento" se mi suggerisci l'impostazione (Ho un'idea, ma non so se è una soluzione ottimale)
Ho un'ultima domanda...mi aiuteresti nella risoluzione di questo integrale definito?
$ int_0^pi x^2 cos(x/2) dx $
Mi "accontento" se mi suggerisci l'impostazione
(Ho un'idea, ma non so se è una soluzione ottimale)
Dimmi la tua idea allora.. 
Avevo pensato di impostarlo in questo modo
$ x/2 = t $
$ x = 2t $
$ dx=2 dt $
dunque l'integrale $ int (4t^2 cos t) 2dt $ dovrebbe essere risolvibile con il metodo dell'integrazione per parti..
$ x/2 = t $
$ x = 2t $
$ dx=2 dt $
dunque l'integrale $ int (4t^2 cos t) 2dt $ dovrebbe essere risolvibile con il metodo dell'integrazione per parti..
Si va bene ma l'integrazione per parti la puoi applicare comunque anche dall'integrale di partenza, non trovi?
Si lo penso...però dovrebbero risultare più semplici i calcoli..!
Quindi secondo te la mia impostazione è erronea?
Quindi secondo te la mia impostazione è erronea?
No non dico che è sbagliata.
Se lo fai per una tua scelta perché pensi che i calcoli così ti saranno più facili, fallo pure, i passaggi sono corretti (ricordati di cambiare anche gli estremi di integrazione).
L'importante è che non pensi che questo sia l'unico modo per utilizzare l'integrazione per parti, che si poteva anche applicare dal primo momento.
Se lo fai per una tua scelta perché pensi che i calcoli così ti saranno più facili, fallo pure, i passaggi sono corretti (ricordati di cambiare anche gli estremi di integrazione).
L'importante è che non pensi che questo sia l'unico modo per utilizzare l'integrazione per parti, che si poteva anche applicare dal primo momento.
Praticamente ricorro all'integrazione per parti quando mi accorgo che l'integrazione non è quasi immediata!
Tornando all'integrale precedente, ho poi impostato l'applicazione del metodo in questo modo
$f(x) = t^2$
$g(x) = int(cost)dt$
Sul libro il metodo di integrazione è spiegato solo per gli integrali indefiniti! Praticamente durante la risoluzione dell'esercizio ho solo avuto l'intuizione di variare gli estremi nell'integrale (della definizione principale) che va sottratto al prodotto di f(x) $*$ g(x)
Tornando all'integrale precedente, ho poi impostato l'applicazione del metodo in questo modo
$f(x) = t^2$
$g(x) = int(cost)dt$
Sul libro il metodo di integrazione è spiegato solo per gli integrali indefiniti! Praticamente durante la risoluzione dell'esercizio ho solo avuto l'intuizione di variare gli estremi nell'integrale (della definizione principale) che va sottratto al prodotto di f(x) $*$ g(x)
Partendo da questa formula $intg'(x)*f(x)dx=f(x)*g(x) - intg(x)*f'(x)dx$
vanno bene queste posizioni anche se per pignoleria ora si deve scrivere
$intg'(t)*f(t)dt=f(t)*g(t) - intg(t)*f'(t)dt$
e
$f(t) = t^2$
$g(t) = cost$
Questa non l'ho capita..
Comunque se vuoi prova a svolgere l'esercizio e se hai problemi chiedi pure
"xsl":
$f(x) = t^2$
$g(x) = int(cost)dt$
vanno bene queste posizioni anche se per pignoleria ora si deve scrivere
$intg'(t)*f(t)dt=f(t)*g(t) - intg(t)*f'(t)dt$
e
$f(t) = t^2$
$g(t) = cost$
"xsl":
Praticamente durante la risoluzione dell'esercizio ho solo avuto l'intuizione di variare gli estremi nell'integrale (della definizione principale) che va sottratto al prodotto di f(x) $*$ g(x)
Questa non l'ho capita..Comunque se vuoi prova a svolgere l'esercizio e se hai problemi chiedi pure
$x^2$ fattore finito
$sin(x/2)$ fattore differenziale
$\int x^2\cos(x/2)dx= 2x^2\sin(x/2) -4 \int x\sin(x/2)dx = 2x^2\sin(x/2)-4(-2x\cos(x/2) + 2\int \cos(x/2)dx) = 2x^2\sin(x/2)+8x\cos(x/2)-16\sin(x/2)$
$sin(x/2)$ fattore differenziale
$\int x^2\cos(x/2)dx= 2x^2\sin(x/2) -4 \int x\sin(x/2)dx = 2x^2\sin(x/2)-4(-2x\cos(x/2) + 2\int \cos(x/2)dx) = 2x^2\sin(x/2)+8x\cos(x/2)-16\sin(x/2)$
@Marco512, sinceramente non capisco il significato del tuo post..
@xsl stava ragionando sull'esercizio, che è la cosa pià giusta da fare, non aveva bisogno dello svolgimento bello e servito..
Riporto dal regolamento:
1.2 Matematicamente.it forum non è un servizio di consulenza per lo svolgimento di esercizi e problemi.
1.3 Per aiuto reciproco si intende: discussioni e scambio di informazioni che hanno l'obiettivo di chiarire dubbi, lacune e difficoltà nello svolgimento di un esercizio o nello studio della teoria. Uno scambio di questo tipo arricchisce chi pone correttamente le domande perché può migliorare le sue conoscenze e arricchisce chi fornisce risposte e consigli perché ha modo di rafforzare le proprie conoscenze, valutare e migliorare la propria capacità di comunicare e insegnare.
1.4 Non è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio.
@xsl stava ragionando sull'esercizio, che è la cosa pià giusta da fare, non aveva bisogno dello svolgimento bello e servito..
Riporto dal regolamento:
1.2 Matematicamente.it forum non è un servizio di consulenza per lo svolgimento di esercizi e problemi.
1.3 Per aiuto reciproco si intende: discussioni e scambio di informazioni che hanno l'obiettivo di chiarire dubbi, lacune e difficoltà nello svolgimento di un esercizio o nello studio della teoria. Uno scambio di questo tipo arricchisce chi pone correttamente le domande perché può migliorare le sue conoscenze e arricchisce chi fornisce risposte e consigli perché ha modo di rafforzare le proprie conoscenze, valutare e migliorare la propria capacità di comunicare e insegnare.
1.4 Non è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio.
@leena: Non era mia intenzione fare consulenza, ho risolto l'esercizio solo per tenermi in allenameto. Se non ho rispettato le regole del forum mi scuso e
provvederò a far si che la cosa non si ripeta.
provvederò a far si che la cosa non si ripeta.
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