Integrazione per parti
Allora ho calcolato un semplice integrale \[ \int arctang(x)/(x)\ \text{d} x \Bigg|_a^b \]
integrando per parti mi compare due volte uno stesso integrale però con un segno positivo, volevo sapere se è possibile sommare i due integrali quanto presentano lo stesso segno e di conseguenza dividendo il risultato .
Nei testi ho visto che si sommano i due integrali quanto si hanno due segni opposti.
integrando per parti mi compare due volte uno stesso integrale però con un segno positivo, volevo sapere se è possibile sommare i due integrali quanto presentano lo stesso segno e di conseguenza dividendo il risultato .
Nei testi ho visto che si sommano i due integrali quanto si hanno due segni opposti.
Risposte
Cioè praticamente integrando per parti mi compare l'integrale di partenza però con lo stesso segno.
Si procede con la somma di integrali?
Si procede con la somma di integrali?
Se non ho sbagliato i conti dovrebbe venire
\[ \int_a^b \frac{\arctan(x)}{x}\,dx = [ \frac{\arctan(x)}{x} ]_a^b - \int_a^b \frac{1}{x + x^3} \,dx \]
\[ \int_a^b \frac{\arctan(x)}{x}\,dx = [ \frac{\arctan(x)}{x} ]_a^b - \int_a^b \frac{1}{x + x^3} \,dx \]
Il mio dubbio è se si sommano i due integrali se l'integrale trovato uguale a quello di partenza e con lo stesso segno
Il mio dubbio è se si sommano i due integrali se l'integrale trovato uguale a quello di partenza e con lo stesso segno
Ah integrando per parti mi viene l'integrale di partenza con lo stesso segno.
Ho visto che si divide il risultato per due se segni degli integrali sono opposti.
Cioè si effettua la somma senza contare il fattore del segno
Ho visto che si divide il risultato per due se segni degli integrali sono opposti.
Cioè si effettua la somma senza contare il fattore del segno
nel mio caso i segni sono uguali e non opposti,si divide il risultato per due?
No, perchè stai facendo i passaggi a ritroso.
Praticamente stai facendo questo gioco qui:
\[
\begin{split}
\int_a^b f(x)\ &g^\prime (x)\ \text{d} x = f(x)g(x)\Big|_a^b - \int_a^b f^\prime (x)\ g(x)\ \text{d} x &\text{(prima integrazione per parti)}\\
&= \cancel{f(x)\ g(x)\Big|_a^b} - \cancel{f(x)\ g(x)\Big|_a^b} + \int_a^b f(x)\ g^\prime (x)\ \text{d} x &\text{(seconda integrazione per parti, inversa della prima)}\\
&= \int_a^b f(x)\ g^\prime (x)\ \text{d} x
\end{split}
\]
che evidentemente non serve a niente, perchè alla fine ti ritrovi con l'integrale di partenza.
Praticamente stai facendo questo gioco qui:
\[
\begin{split}
\int_a^b f(x)\ &g^\prime (x)\ \text{d} x = f(x)g(x)\Big|_a^b - \int_a^b f^\prime (x)\ g(x)\ \text{d} x &\text{(prima integrazione per parti)}\\
&= \cancel{f(x)\ g(x)\Big|_a^b} - \cancel{f(x)\ g(x)\Big|_a^b} + \int_a^b f(x)\ g^\prime (x)\ \text{d} x &\text{(seconda integrazione per parti, inversa della prima)}\\
&= \int_a^b f(x)\ g^\prime (x)\ \text{d} x
\end{split}
\]
che evidentemente non serve a niente, perchè alla fine ti ritrovi con l'integrale di partenza.
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