Integrazione per parti
Ho un dubbio sulle ipotesi necessarie ai fini della possibilità di integrare per parti.
L'enunciato mi viene presentato così (Zorich I):
If the functions \(\displaystyle u(x) \) and \(\displaystyle v(x) \) are continuously differentiable on a closed interval \(\displaystyle [a,b] \), then:
$$\int_a^b(u\cdot v')(x)\mathrm{d}x=(u\cdot v)|_a^b-\int_a^b(u'\cdot v)(x)\mathrm{d}x.$$
Viene in altre parole richiesto che sia $v(x)$ che $u(x)$ siano di classe \(\displaystyle \mathcal{C}^{(1)}([a,b]) \).
Io credo che le ipotesi si possono rilassare un pochino.
Supponiamo a tal proposito che $v(x)$ e $u(x)$ siano entrambe differenziabili in ogni punto di $[a,b]$, ma concediamo il fatto che le funzioni $v'(x)$ e $u'(x)$ possano essere discontinue in un numero finito di punti di tale intervallo.
Si ha comunque che:
$$(u'\cdot v')(x)=(u\cdot v')(x)+(u'\cdot v)(x) \quad \forall x\in [a,b]$$
Siccome tutte e tre le funzioni in questa uguaglianza sono continue eccetto un numero finito di punti, allora esse saranno tutte e tre integrabili:
$$\int_a^b(u'\cdot v')(x)\mathrm{d}x=\int_a^b(u\cdot v')(x)\mathrm{d}x+\int_a^b(u'\cdot v)(x)\mathrm{d}x$$
In particolare la quantità a sinistra è calcolabile ancora con la formula di Newton-Leibniz attraverso l'utilizzo di una tra le primitive generalizzate di \(\displaystyle (u'\cdot v')(x) \). Una tra queste è \(\displaystyle (u\cdot v)(x) \), il che mi consente di concludere.
No?
EDIT: Bisogna aggiungere però come ipotesi che $v'(x)$ e $u'(x)$ devono essere limitate in $[a,b]$.
L'enunciato mi viene presentato così (Zorich I):
If the functions \(\displaystyle u(x) \) and \(\displaystyle v(x) \) are continuously differentiable on a closed interval \(\displaystyle [a,b] \), then:
$$\int_a^b(u\cdot v')(x)\mathrm{d}x=(u\cdot v)|_a^b-\int_a^b(u'\cdot v)(x)\mathrm{d}x.$$
Viene in altre parole richiesto che sia $v(x)$ che $u(x)$ siano di classe \(\displaystyle \mathcal{C}^{(1)}([a,b]) \).
Io credo che le ipotesi si possono rilassare un pochino.
Supponiamo a tal proposito che $v(x)$ e $u(x)$ siano entrambe differenziabili in ogni punto di $[a,b]$, ma concediamo il fatto che le funzioni $v'(x)$ e $u'(x)$ possano essere discontinue in un numero finito di punti di tale intervallo.
Si ha comunque che:
$$(u'\cdot v')(x)=(u\cdot v')(x)+(u'\cdot v)(x) \quad \forall x\in [a,b]$$
Siccome tutte e tre le funzioni in questa uguaglianza sono continue eccetto un numero finito di punti, allora esse saranno tutte e tre integrabili:
$$\int_a^b(u'\cdot v')(x)\mathrm{d}x=\int_a^b(u\cdot v')(x)\mathrm{d}x+\int_a^b(u'\cdot v)(x)\mathrm{d}x$$
In particolare la quantità a sinistra è calcolabile ancora con la formula di Newton-Leibniz attraverso l'utilizzo di una tra le primitive generalizzate di \(\displaystyle (u'\cdot v')(x) \). Una tra queste è \(\displaystyle (u\cdot v)(x) \), il che mi consente di concludere.
No?
EDIT: Bisogna aggiungere però come ipotesi che $v'(x)$ e $u'(x)$ devono essere limitate in $[a,b]$.
Risposte
In pratica hai detto che se sono $C^1$ a tratti vale, questo lo puoi ottenere anche osservando che puoi spezzare l'integrale in un numero finito di intervalli in cui valgono le ipotesi per cui si sa già che funziona.
Comunque si può generalizzare anche di più, credo che puoi arrivare che a chiedere solamente che le derivate siano integrabili secondo Riemann, ma non ne sono sicuro.
Ad ogni modo ti sconsiglio di provare a dimostrarlo, queste questioni sono interessanti ma nel contesto dell'integrale di Riemann funzionano male, scoprirai in futuro che per l'integrale di Lebesgue la formula di integrazioni per parti funziona per funzioni assolutamente continue.
Comunque si può generalizzare anche di più, credo che puoi arrivare che a chiedere solamente che le derivate siano integrabili secondo Riemann, ma non ne sono sicuro.
Ad ogni modo ti sconsiglio di provare a dimostrarlo, queste questioni sono interessanti ma nel contesto dell'integrale di Riemann funzionano male, scoprirai in futuro che per l'integrale di Lebesgue la formula di integrazioni per parti funziona per funzioni assolutamente continue.
"otta96":
In pratica hai detto che se sono $C^1$ a tratti vale...
Non mi pare proprio la stessa cosa, perché togliendo i punti di discontinuità 'spezzando' l'integrale ottieni degli intervalli aperti. Tutta la teoria che ho studiato io sull'integrazione prevede che le partizioni e il successivo limite sulle somme di Riemann vengano effettuati su un intervallo chiuso $[a,b]$.
Magari tutto si estende, ma io per ora l'ho studiato definendo l'integrale definito solo su intervalli chiusi.
Si hai ragione la condizione che hai detto è un po' più generale.
Sono contento allora 
Ti ringrazio.
Ti ringrazio.
Questo è un annoso problema di cui si è parlato un sacco di volte. Stesso discorso per la formula di integrazione per sostituzione. Non è facile trovare ipotesi minime per integrare per parti, ma in ogni caso come minimo tutti gli integrali coinvolti devono avere senso, ecco perché spesso si richiede che le funzioni siano C^1 e buonanotte.
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