Integrazione per parti

alessio.spaziante
ciao a tutti ragazzi devo risolvere quest'integrale con integrazione per parti:
integrale di xarctanx. vedo la x come funzione derivata e arctanx come fattor finito ma poi mi trovo ad un punto in cui ho -1/2 che moltiplica l'integrale di (x^2/1+x^2) e non so risolvere l'integrale in questa parentesi.. c'è qualcuno che potrebbe spiegarmelo passo per passo ?? mi scuso in anticipo ma non so usare le formule per scrivere :shock: grazie anticipatamente

Risposte
porzio1
puoi usare questo trucchetto
$ int_()^() x^2/(1+x^2) dx =int_()^() (x^2+1)/(x^2+1) dx-int_()^() 1/(x^2+1) dx =intdx-int_()^() 1/(1+x^2) dx $

alessio.spaziante
scusa la mia ignoranza porzio ma quando sommo e sottraggo 1 al numeratore quando "spezzo" l'integrale non devo spezzarlo per ogni termine del numeratore ?? quindi per x^2 per 1 e per -1 ?

BoG3
@Alessio: quindi tu faresti
$ int_()^() x^2/( 1+x^2) dx =int_()^() (x^2)/(x^2+1) dx-int_()^() 1/(x^2+1) dx +int_()^() 1/(x^2+1) dx$ ?

alessio.spaziante
esatto..cosa che non mi porta comunque a niente perchè il primo integrale è sempre uguale a quello che devo calcolare

BoG3
Si! lo puoi fare (come dici tu) ma nessuno ti obbliga a spezzarlo proprio in quel modo! Puoi spezzarlo in modi diversi, anche come suggerito da porzio ;)
Capisci ?

e' come dire $8/3 = 1/3+1/3+1/3+1/3+1/3+1/3+1/3+1/3$ ma $8/3 = 4/3 + 4/3$ o anche $8/3= 1/3+7/3$... no ?

Noisemaker
L'integrale
\begin{align}
\int x\arctan x \,\,dx&=\int \arctan x \,\,d\left(\frac{x^2}{2}\right) =\frac{1}{2}\int \arctan x \,\,d\left(x^2\right) \stackrel{\bf(P)}{=}
\frac{1}{2}\left[x^2 \arctan x-\int x^2 \,\,d\left( \arctan x\right) \right]\\
&= \frac{1}{2}\left[x^2 \arctan x-\int\frac{x^2}{x^2+1} \,\,dx \right]= \frac{1}{2}\left[x^2 \arctan x-\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1} \,\,dx \right]\\\
&= \frac{1}{2}\left[x^2 \arctan x-\int 1-\frac{ 1}{x^2+1} \,\,dx \right]= \frac{1}{2}\left[x^2 \arctan x- x+\arctan x \right].
\end{align}

BoG3
Noisemaker, per favore, non è che puoi spiegare? sono interessato alla tua soluzione! i prof solitamente presentano il "$dx$" come nulla di che, un atrofizzazione, inutile. Mi sono sempre chiesto "se è un atrofizzazione inutile, perchè lo scrivi?"

Tu lo usi per risolvere l'esercizio... che cos'è il $dx$ veramente?

Noisemaker
ti rimando a queste pagine di Fioravante Patrone: http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... gativo.pdf

alessio.spaziante
Grazie a tutti ragazzi finalmente ho capito sempre molto gentili :D

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