Integrazione per parti
ciao a tutti ragazzi devo risolvere quest'integrale con integrazione per parti:
integrale di xarctanx. vedo la x come funzione derivata e arctanx come fattor finito ma poi mi trovo ad un punto in cui ho -1/2 che moltiplica l'integrale di (x^2/1+x^2) e non so risolvere l'integrale in questa parentesi.. c'è qualcuno che potrebbe spiegarmelo passo per passo ?? mi scuso in anticipo ma non so usare le formule per scrivere
grazie anticipatamente
integrale di xarctanx. vedo la x come funzione derivata e arctanx come fattor finito ma poi mi trovo ad un punto in cui ho -1/2 che moltiplica l'integrale di (x^2/1+x^2) e non so risolvere l'integrale in questa parentesi.. c'è qualcuno che potrebbe spiegarmelo passo per passo ?? mi scuso in anticipo ma non so usare le formule per scrivere
grazie anticipatamente
Risposte
puoi usare questo trucchetto
$ int_()^() x^2/(1+x^2) dx =int_()^() (x^2+1)/(x^2+1) dx-int_()^() 1/(x^2+1) dx =intdx-int_()^() 1/(1+x^2) dx $
$ int_()^() x^2/(1+x^2) dx =int_()^() (x^2+1)/(x^2+1) dx-int_()^() 1/(x^2+1) dx =intdx-int_()^() 1/(1+x^2) dx $
scusa la mia ignoranza porzio ma quando sommo e sottraggo 1 al numeratore quando "spezzo" l'integrale non devo spezzarlo per ogni termine del numeratore ?? quindi per x^2 per 1 e per -1 ?
@Alessio: quindi tu faresti
$ int_()^() x^2/( 1+x^2) dx =int_()^() (x^2)/(x^2+1) dx-int_()^() 1/(x^2+1) dx +int_()^() 1/(x^2+1) dx$ ?
$ int_()^() x^2/( 1+x^2) dx =int_()^() (x^2)/(x^2+1) dx-int_()^() 1/(x^2+1) dx +int_()^() 1/(x^2+1) dx$ ?
esatto..cosa che non mi porta comunque a niente perchè il primo integrale è sempre uguale a quello che devo calcolare
Si! lo puoi fare (come dici tu) ma nessuno ti obbliga a spezzarlo proprio in quel modo! Puoi spezzarlo in modi diversi, anche come suggerito da porzio 
Capisci ?
e' come dire $8/3 = 1/3+1/3+1/3+1/3+1/3+1/3+1/3+1/3$ ma $8/3 = 4/3 + 4/3$ o anche $8/3= 1/3+7/3$... no ?
Capisci ?
e' come dire $8/3 = 1/3+1/3+1/3+1/3+1/3+1/3+1/3+1/3$ ma $8/3 = 4/3 + 4/3$ o anche $8/3= 1/3+7/3$... no ?
L'integrale
\begin{align}
\int x\arctan x \,\,dx&=\int \arctan x \,\,d\left(\frac{x^2}{2}\right) =\frac{1}{2}\int \arctan x \,\,d\left(x^2\right) \stackrel{\bf(P)}{=}
\frac{1}{2}\left[x^2 \arctan x-\int x^2 \,\,d\left( \arctan x\right) \right]\\
&= \frac{1}{2}\left[x^2 \arctan x-\int\frac{x^2}{x^2+1} \,\,dx \right]= \frac{1}{2}\left[x^2 \arctan x-\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1} \,\,dx \right]\\\
&= \frac{1}{2}\left[x^2 \arctan x-\int 1-\frac{ 1}{x^2+1} \,\,dx \right]= \frac{1}{2}\left[x^2 \arctan x- x+\arctan x \right].
\end{align}
\begin{align}
\int x\arctan x \,\,dx&=\int \arctan x \,\,d\left(\frac{x^2}{2}\right) =\frac{1}{2}\int \arctan x \,\,d\left(x^2\right) \stackrel{\bf(P)}{=}
\frac{1}{2}\left[x^2 \arctan x-\int x^2 \,\,d\left( \arctan x\right) \right]\\
&= \frac{1}{2}\left[x^2 \arctan x-\int\frac{x^2}{x^2+1} \,\,dx \right]= \frac{1}{2}\left[x^2 \arctan x-\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1} \,\,dx \right]\\\
&= \frac{1}{2}\left[x^2 \arctan x-\int 1-\frac{ 1}{x^2+1} \,\,dx \right]= \frac{1}{2}\left[x^2 \arctan x- x+\arctan x \right].
\end{align}
Noisemaker, per favore, non è che puoi spiegare? sono interessato alla tua soluzione! i prof solitamente presentano il "$dx$" come nulla di che, un atrofizzazione, inutile. Mi sono sempre chiesto "se è un atrofizzazione inutile, perchè lo scrivi?"
Tu lo usi per risolvere l'esercizio... che cos'è il $dx$ veramente?
Tu lo usi per risolvere l'esercizio... che cos'è il $dx$ veramente?
ti rimando a queste pagine di Fioravante Patrone: http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... gativo.pdf
Grazie a tutti ragazzi finalmente ho capito sempre molto gentili 
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