Integrazione per parti
salve ragazzi, ancora io. Come si è capito sto studiando gli integrali e sto facendo esercizi su esercizi.
Vi propongo questo dove credo che faccio un errore banale, ma non riesco a trovarlo.
$int xarcsinx*(1/(sqrt(1-x^2)))$
Io procedo in questo modo:
$int xarcsinx(1/(sqrt(1-x^2))) = x*(arcsin(x))^2 - int (arcsin(x))^2 + (x*arcsinx/sqrt(1-x^2))$
L'integrale a questo punto lo spezzo nella somma di due integrali
$(x*arcsin(x))^2 - int (arcsin(x))^2 + (x+arcsinx/sqrt(1-x^2)) = (x*arcsin(x))^2 - int (arcsin(x))^2 - int (x*arcsin(x))/(sqrt(1-x^2))$
Adesso ho:
$int xarcsinx*(1/(sqrt(1-x^2))) = (x*arcsin(x))^2 - int (arcsin(x))^2 - int (x*arcsin(x))/(sqrt(1-x^2))$
A questo punto porto al primo membro l'ultmo termine ed ho
$2int x+arcsinx(1/(sqrt(1-x^2))) = (x*arcsin(x))^2 - int (arcsin(x))^2$
Sviluppo per parti il secondo integrale e mi ritrovo
$2*int x*arcsin(x)*(1/(sqrt(1-x^2))) = (x*arcsin(x))^2 - (x*arcsin(x))^2 + 2*int (x*arcsin(x)*((1/(sqrt(1-x^2))) $
A questo puto si semplifica tutto
C'è un errore di segni?
Vi propongo questo dove credo che faccio un errore banale, ma non riesco a trovarlo.
$int xarcsinx*(1/(sqrt(1-x^2)))$
Io procedo in questo modo:
$int xarcsinx(1/(sqrt(1-x^2))) = x*(arcsin(x))^2 - int (arcsin(x))^2 + (x*arcsinx/sqrt(1-x^2))$
L'integrale a questo punto lo spezzo nella somma di due integrali
$(x*arcsin(x))^2 - int (arcsin(x))^2 + (x+arcsinx/sqrt(1-x^2)) = (x*arcsin(x))^2 - int (arcsin(x))^2 - int (x*arcsin(x))/(sqrt(1-x^2))$
Adesso ho:
$int xarcsinx*(1/(sqrt(1-x^2))) = (x*arcsin(x))^2 - int (arcsin(x))^2 - int (x*arcsin(x))/(sqrt(1-x^2))$
A questo punto porto al primo membro l'ultmo termine ed ho
$2int x+arcsinx(1/(sqrt(1-x^2))) = (x*arcsin(x))^2 - int (arcsin(x))^2$
Sviluppo per parti il secondo integrale e mi ritrovo
$2*int x*arcsin(x)*(1/(sqrt(1-x^2))) = (x*arcsin(x))^2 - (x*arcsin(x))^2 + 2*int (x*arcsin(x)*((1/(sqrt(1-x^2))) $
A questo puto si semplifica tutto
C'è un errore di segni?
Risposte
Piuttosto che con il per parti, risolverei l'integrale per sostituzione (poi applicando il per parti). Non so se comunque sei obbligato a risolverlo per parti (al massimo poi ci diamo una occhiata).
Comunque io ho notato subito che:
\(\displaystyle \frac{d\arcsin x}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
Quindi poniamo:
\(\displaystyle y=\arcsin x \)
\(\displaystyle dy=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx \)
\(\displaystyle \sin y =x \)
L'integrale diventa quindi:
\(\displaystyle \int x\arcsin x\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int\sin y\cdot ydy=-y\cos y-\int-\cos y\cdot1dy=-y\cos y+\sin y \)
Ritornando a x:
\(\displaystyle -y\cos y+\sin y=-\arcsin x\cdot\cos(\arcsin x)+\sin(\arcsin(x))=-\arcsin x\cdot\sqrt{1-x^{2}} +x \)
Comunque io ho notato subito che:
\(\displaystyle \frac{d\arcsin x}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
Quindi poniamo:
\(\displaystyle y=\arcsin x \)
\(\displaystyle dy=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx \)
\(\displaystyle \sin y =x \)
L'integrale diventa quindi:
\(\displaystyle \int x\arcsin x\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int\sin y\cdot ydy=-y\cos y-\int-\cos y\cdot1dy=-y\cos y+\sin y \)
Ritornando a x:
\(\displaystyle -y\cos y+\sin y=-\arcsin x\cdot\cos(\arcsin x)+\sin(\arcsin(x))=-\arcsin x\cdot\sqrt{1-x^{2}} +x \)
"Zurzaza":
Piuttosto che con il per parti, risolverei l'integrale per sostituzione (poi applicando il per parti). Non so se comunque sei obbligato a risolverlo per parti (al massimo poi ci diamo una occhiata).
Comunque io ho notato subito che:
\(\displaystyle \frac{d\arcsin x}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
Quindi poniamo:
\(\displaystyle y=\arcsin x \)
\(\displaystyle dy=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx \)
\(\displaystyle \sin y =x \)
L'integrale diventa quindi:
\(\displaystyle \int x\arcsin x\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int\sin y\cdot ydy=-y\cos y-\int-\cos y\cdot1dy=-y\cos y+\sin y \)
Ritornando a x:
\(\displaystyle -y\cos y+\sin y=-\arcsin x\cdot\cos(\arcsin x)+\sin(\arcsin(x))=-\arcsin x\cdot\sqrt{1-x^{2}} +x \)
Grazie per la risposta. Cmq ti volevo dire che l'esercizio deve essere risolto necessariamente per parti
Purtroppo "la semplificazione" di termini nell'integrazione per parti è un problema comune.
Spesso si risolve cambiando i fattori di integrazione (in soldoni invertendo "f" con "g' ").
A occhio mi sembra che non ci siano problemi nel tuo procedimento ma puoi provare comunque a cambiare i fattori di integrazione (anche se la cosa diventa abbastanza complessa).
A mio parere questo esercizio andava risolto in quel modo, magari altri utenti più esperti di me avrebbero usato metodi diversi. Comunque sia (credo) lo scopo degli esercizi sia prendere la mano a risolvere integrali con il metodo migliore, non con un solo metodo (il mio prof dice che non esiste "un ricetta", un metodo migliore per risolvere gli integrali, ognuno li risolve come meglio crede, in questo caso l'integrazione per parti di 3 termini è un po' ostica).
Spesso si risolve cambiando i fattori di integrazione (in soldoni invertendo "f" con "g' ").
A occhio mi sembra che non ci siano problemi nel tuo procedimento ma puoi provare comunque a cambiare i fattori di integrazione (anche se la cosa diventa abbastanza complessa).
A mio parere questo esercizio andava risolto in quel modo, magari altri utenti più esperti di me avrebbero usato metodi diversi. Comunque sia (credo) lo scopo degli esercizi sia prendere la mano a risolvere integrali con il metodo migliore, non con un solo metodo (il mio prof dice che non esiste "un ricetta", un metodo migliore per risolvere gli integrali, ognuno li risolve come meglio crede, in questo caso l'integrazione per parti di 3 termini è un po' ostica).
"Zurzaza":
Purtroppo "la semplificazione" di termini nell'integrazione per parti è un problema comune.
Spesso si risolve cambiando i fattori di integrazione (in soldoni invertendo "f" con "g' ").
A occhio mi sembra che non ci siano problemi nel tuo procedimento ma puoi provare comunque a cambiare i fattori di integrazione (anche se la cosa diventa abbastanza complessa).
A mio parere questo esercizio andava risolto in quel modo, magari altri utenti più esperti di me avrebbero usato metodi diversi. Comunque sia (credo) lo scopo degli esercizi sia prendere la mano a risolvere integrali con il metodo migliore, non con un solo metodo (il mio prof dice che non esiste "un ricetta", un metodo migliore per risolvere gli integrali, ognuno li risolve come meglio crede, in questo caso l'integrazione per parti di 3 termini è un po' ostica).
Uff, ok... proverò a scambiare f con g
Se ti interessa io avevo già iniziato a impostare il per parti in quell'altra maniera, ma risultava davvero troppo pesante e lungo da risolvere (e quindi conseguente maggiore probabilità di fare errori). Basti vedere che:
\(\displaystyle D[\arcsin x\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}]=\frac{1+2x\arcsin x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}}{1-x^{2}}=\frac{1}{1-x^{2}}+\frac{x\arcsin x}{(1-x^{2})^{\frac{3}{2}}}\) Buona fortuna
\(\displaystyle D[\arcsin x\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}]=\frac{1+2x\arcsin x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}}{1-x^{2}}=\frac{1}{1-x^{2}}+\frac{x\arcsin x}{(1-x^{2})^{\frac{3}{2}}}\) Buona fortuna
"Zurzaza":
Se ti interessa io avevo già iniziato a impostare il per parti in quell'altra maniera, ma risultava davvero troppo pesante e lungo da risolvere (e quindi conseguente maggiore probabilità di fare errori). Basti vedere che:
\(\displaystyle D[\arcsin x\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}]=\frac{1+2x\arcsin x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}}{1-x^{2}}=\frac{1}{1-x^{2}}+\frac{x\arcsin x}{(1-x^{2})^{\frac{3}{2}}}\) Buona fortuna
Zurzaza, ho lo stesso problema con un altro integrale:
$int x*(senx)^2$
Mi viene 0 = 0 e se provo a farlo scambiando f e d si continua all'infinito! E' mai possibile?
Purtroppo ti sei scelto integrali un po' particolari.
Questo infatti è un integrale un po' bastardo, per cui è necessario sapere a priori (fatti una tabella con gli integrali piu noti) l'integrale di \(\displaystyle \sin^2 x \) o quello di \(\displaystyle \cos^2 x \) e te ne sarai accorto anche tu.
Si ricava attraverso le formule di werner, facciamolo insieme:
\(\displaystyle\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \)
quindi:
\(\displaystyle (\sin x)^{2}=\frac{1}{2}[\cos(2x)+1]=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2x
\)
Beh ora il gioco è fatto, prendi come "g' " il \(\displaystyle \sin^2 x \) e la funzione diventa "semplice" da integrare:
\(\displaystyle \int x\sin^{2}x=x\int\sin^{2}x-\int(\int\sin^{2}x)
\)
dove:
\(\displaystyle \int(\sin x)^{2}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\int\cos2x=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin2x \)
In questo caso dovresti essere in grado di finirlo
Consiglio: Ogni integrale che ti calcoli di UNA funzione, segnatelo in modo da riutilizzarlo in altri integrali che richiedono procedure piu complesse
Questo infatti è un integrale un po' bastardo, per cui è necessario sapere a priori (fatti una tabella con gli integrali piu noti) l'integrale di \(\displaystyle \sin^2 x \) o quello di \(\displaystyle \cos^2 x \) e te ne sarai accorto anche tu.
Si ricava attraverso le formule di werner, facciamolo insieme:
\(\displaystyle\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \)
quindi:
\(\displaystyle (\sin x)^{2}=\frac{1}{2}[\cos(2x)+1]=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2x
\)
Beh ora il gioco è fatto, prendi come "g' " il \(\displaystyle \sin^2 x \) e la funzione diventa "semplice" da integrare:
\(\displaystyle \int x\sin^{2}x=x\int\sin^{2}x-\int(\int\sin^{2}x)
\)
dove:
\(\displaystyle \int(\sin x)^{2}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\int\cos2x=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin2x \)
In questo caso dovresti essere in grado di finirlo
Consiglio: Ogni integrale che ti calcoli di UNA funzione, segnatelo in modo da riutilizzarlo in altri integrali che richiedono procedure piu complesse
Si, grazie. In questo secondo caso sono riuscito a trovare l'errore. Grazie per la disponibilità. Comunque gli integrali sono del Prof Fusco dell'Università di Napoli e devo necessariamente farli per avere la minima possibilità di passare lo scritto. Comunque un buon 70% mi stanno venendo
Capisco, gli integrali sono sempre un po' ostili, sopratutto per chi non li ha fatti alle superiori.
Quello che mi stupisco è che obblighi l'utilizzo di una tecnica, alla fine quello che importa è che tu sappia effetivamente "risolverli".
Comunque, in bocca al lupo per l'esame (che dovrò dare anche io a gennaio
)
Quello che mi stupisco è che obblighi l'utilizzo di una tecnica, alla fine quello che importa è che tu sappia effetivamente "risolverli".
Comunque, in bocca al lupo per l'esame (che dovrò dare anche io a gennaio
)
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