Integrazione per fette per colonne

[rico]

Ciao! Non riesco a capire alcune cose delle due tecniche d'integrazione.
Integrazione per fette

mi riferisco all'esempio in cui ho delle incomprensioni.
V=insieme compreso tra i piani:

$x+y+z=1$, $x=0$, $y=0$
$f(x,y,z)=xyz$

per definzione $V={x,y,z //aleqxleqb (x,y)inD(z)}$ e $D(z)={x,y //gamma(z)leqxleqdelta(z), alpha(x,z)leqyleqbeta(x,z)}$

Nell'esempio avro $D(z)sube R^2$ ovvero il triangolo di vertici $(0,0)$, $(0,1-z)$ e $(1-z,0)$ e $D(z)={(x,y) // xgeq0, ygeq0, x+yleq1-z}$
A questo punto negli appunti l'integrale triplo che salta fuori è:

$ int_(0)^(1) int_(0)^(1-z)( int_(0)^(1-z-x)xyz dy) dx dz $

In questo esempio non capisco come mai compare come estremo d'integrazione $1-z-x$ e se sia giusto l'integrazione rispetto a $dy$ ove compare questo estremo.

Integrazione per colonne

Riporto la definizione che trovo sugli appunti $V={(x,y,z //(x,y)inD, alpha(x,y)leqzleqbeta(x,y)}$ se alfa beta e f sono continue su D f e integrabile su V e:

$ int int_D ( int_(alpha(x,y))^(beta(x,y))f(x,y,z)dz) dxdy $

dove D è la proiezione ortogonale di V sul piano xy.
Se volessi risolvere l'integrale che ho precedentemente svolto integrando per fette con il metodo d'integrazione per colonne come dovrei fare? e perche nell def di V $z$ e compreso $alpha(x,y)leqzleqbeta(x,y)$?

Grazie