Integrazione lungo una retta di una PDE
Salve a tutti.
Mi trovo alle prese con la seguente PDE:
$\frac{\partial v(a,t)}{\partial t}+\frac{\partial v(a,t)}{\partial a}+(\mathcal{H}v(\cdot,t))(a)=0, a\in\[0,\bar{a}],t\geq 0$
con la condizione al contorno $v(0,t)= K_0v(\cdot,t)$ e la condizione ininiziale $v(a,0)=\phi(a)$, con $\mathcal{H}$ operatore lineare e $K_0$ e funzionale lineare che descriverò dettagliatamente se necessario. Mi viene richiesto di integrare questa PDE lungo la retta $a(t)=t+c$.
Con semplici conti, si trova che
$\frac{dv(a(t),t)}{dt}=-(\mathcal{H}v(\cdot,t))(a)$
Come potrei andare avanti? Alla luce della condizione iniziale da associare alla precedente ODE, ho provato a distinguere i casi $a\leq t$ e $a>t$, ma non ne esco.
Mi trovo alle prese con la seguente PDE:
$\frac{\partial v(a,t)}{\partial t}+\frac{\partial v(a,t)}{\partial a}+(\mathcal{H}v(\cdot,t))(a)=0, a\in\[0,\bar{a}],t\geq 0$
con la condizione al contorno $v(0,t)= K_0v(\cdot,t)$ e la condizione ininiziale $v(a,0)=\phi(a)$, con $\mathcal{H}$ operatore lineare e $K_0$ e funzionale lineare che descriverò dettagliatamente se necessario. Mi viene richiesto di integrare questa PDE lungo la retta $a(t)=t+c$.
Con semplici conti, si trova che
$\frac{dv(a(t),t)}{dt}=-(\mathcal{H}v(\cdot,t))(a)$
Come potrei andare avanti? Alla luce della condizione iniziale da associare alla precedente ODE, ho provato a distinguere i casi $a\leq t$ e $a>t$, ma non ne esco.
Risposte
Ma la funzione $v$ prende valori in $RR$ o in uno spazio di Banach?
Perché da come scrivi la condizione iniziale sembra di capire che $v(a,t)$ sia una funzione per $(a,t)$ fissato...
Oppure $K_0 v(\cdot ,t)$ vuol dire che la funzione $t\mapsto K_0 v(\cdot ,t)$ è ottenuta dalla funzione paraziale $a\mapsto v(a, t)$ facendo qualche zozzeria e poi mettendo $a=0$?
(Propendo per questa ipotesi, ma non ne sono certo...)
Se non vedo male, facendo un disegno ti puoi convincere che per $0< c < bar(a)$ puoi accoppiare alla tua EDO una condizione iniziale che dipende da $phi$, cioè dalla condizione assegnata sul bordo "spaziale": infatti, se poni $V(t;c):=v(t+c,t)$ hai $V$ definita per $t\in [0,bar(a)-c]$ e:
$V(0;c)=v(c,0)=phi(c).$
Per $c < 0$ devi per forza di cose usare la condizione assegnata sulla frontiera "temporale", cioè $v(0,t)=K_0 v(\cdot ,t)$: infatti, ponendo come al solito $V(t;c):=v(t+c,t)$, hai:
$V(0;c)=v(0,-c)= K_0 v(\cdot ,-c).$
Ovviamente questo trucco funziona solo se $H$ e $K_0$ tengono conto unicamente dei valori di $v$ in triangoli rettangoli isosceli rettangoli in $(bar(a),0)$, altrimenti è chiaro che non riesci a dare un senso alla EDO (infatti il calcolo di un coefficiente e della condizione iniziale sarebbe impossibile, giacché coinvolgerebbe una zona in cui non hai ancora informazioni sulla $v$).
Perché da come scrivi la condizione iniziale sembra di capire che $v(a,t)$ sia una funzione per $(a,t)$ fissato...
Oppure $K_0 v(\cdot ,t)$ vuol dire che la funzione $t\mapsto K_0 v(\cdot ,t)$ è ottenuta dalla funzione paraziale $a\mapsto v(a, t)$ facendo qualche zozzeria e poi mettendo $a=0$?
(Propendo per questa ipotesi, ma non ne sono certo...)
Se non vedo male, facendo un disegno ti puoi convincere che per $0< c < bar(a)$ puoi accoppiare alla tua EDO una condizione iniziale che dipende da $phi$, cioè dalla condizione assegnata sul bordo "spaziale": infatti, se poni $V(t;c):=v(t+c,t)$ hai $V$ definita per $t\in [0,bar(a)-c]$ e:
$V(0;c)=v(c,0)=phi(c).$
Per $c < 0$ devi per forza di cose usare la condizione assegnata sulla frontiera "temporale", cioè $v(0,t)=K_0 v(\cdot ,t)$: infatti, ponendo come al solito $V(t;c):=v(t+c,t)$, hai:
$V(0;c)=v(0,-c)= K_0 v(\cdot ,-c).$
Ovviamente questo trucco funziona solo se $H$ e $K_0$ tengono conto unicamente dei valori di $v$ in triangoli rettangoli isosceli rettangoli in $(bar(a),0)$, altrimenti è chiaro che non riesci a dare un senso alla EDO (infatti il calcolo di un coefficiente e della condizione iniziale sarebbe impossibile, giacché coinvolgerebbe una zona in cui non hai ancora informazioni sulla $v$).
Provo a esplicitare un po' la faccenda; in effetti la domanda, così come l'ho posta, è fumosa. Sia $X=L^1([0,\bar{a}],\mathbb{C})$, munito della norma $||\cdot||_1$. $\mathcal{H}: X\to X$ è un operatore lineare e limitato, mentre $K_0: X\to\mathbb{C}$ è un funzionale lineare e limitato. Quindi, quando scrivo $v(\cdot,t)$ intendo la funzione a valori in $\mathbb{C}$ data da $v(a,t)$, al variare di $a\in[0,\bar{a}]$.
Sì, vabbé ma dirla così non mette e non leva nulla... Il metodo che ti ho segnalato va bene, purché $H$ e $K_0$ siano decenti, altrimenti salta tutto.
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