Integrazione in senso generalizzato di una Funzione
Salve a tutti, vorrei studiare l'Integrabilità in senso generalizzato della funzione $f(x)=(x^(\alpha))/(e^(x) -1)$ nell'intervallo $[0,1]$, al variare del parametro reale $alpha$.
Inizialmente, ho esaminato il dominio della funzione rendendomi conto che essa è continua in $R-{0}$
.
$e^(x) -1 =0$ se $e^x=1$ $rarr$ $x=0$
Escluso 1 dal mio studio, poichè non è un problema per la funzione, mi sono concentrata sul punto $x=0$ e ne ho fatto il limite.
$\lim_{x \to \0}(x^(\alpha))/(e^(x) -1)$
Ricordando l'esistenza del limite notevole $\lim_{x \to \0}(e^(x) -1)/x =1$ l'ho applicato al mio limite così da ottenere
$\lim_{x \to \0}(x^(\alpha))/(x)={ (1, if alpha=1), (prop if alpha<1), (0 if alpha>1):}$
A questo punto, so che ho problemi solo se $alpha<1$ quindi, secondo quanto so, dovrei applicare un corollario (che sul mio libro di testo non ha nome, quindi non so come indicarvelo
) e procedere come segue:
$\lim_{x \to \0}(x^(\alpha)/x)*x^(\beta)=(x^(\alpha+\beta))/x$ e, anche passando a lavorare con gli esponenti non saprei qual'è il valore che deve assumere $\alpha$ affinchè $\beta>=1$ con $l in [0, +prop]$ e quindi, per il corollario dal nome sconosciuto, integrabile ma non sommabile.
Potreste aiutarmi per cortesia?
Inizialmente, ho esaminato il dominio della funzione rendendomi conto che essa è continua in $R-{0}$
.$e^(x) -1 =0$ se $e^x=1$ $rarr$ $x=0$
Escluso 1 dal mio studio, poichè non è un problema per la funzione, mi sono concentrata sul punto $x=0$ e ne ho fatto il limite.
$\lim_{x \to \0}(x^(\alpha))/(e^(x) -1)$
Ricordando l'esistenza del limite notevole $\lim_{x \to \0}(e^(x) -1)/x =1$ l'ho applicato al mio limite così da ottenere
$\lim_{x \to \0}(x^(\alpha))/(x)={ (1, if alpha=1), (prop if alpha<1), (0 if alpha>1):}$
A questo punto, so che ho problemi solo se $alpha<1$ quindi, secondo quanto so, dovrei applicare un corollario (che sul mio libro di testo non ha nome, quindi non so come indicarvelo
) e procedere come segue:$\lim_{x \to \0}(x^(\alpha)/x)*x^(\beta)=(x^(\alpha+\beta))/x$ e, anche passando a lavorare con gli esponenti non saprei qual'è il valore che deve assumere $\alpha$ affinchè $\beta>=1$ con $l in [0, +prop]$ e quindi, per il corollario dal nome sconosciuto, integrabile ma non sommabile.
Potreste aiutarmi per cortesia?
Risposte
la funzione in $0$ è asintotica a $x^(alpha-1)$
inoltre è positiva in $(0,1]$ ; quindi integrabilità e sommabilità coincidono in questo caso
l'integrale diverge se ,e solo se,in $0$ ,$x^(alpha-1)$ è un infinito di ordine maggiore o uguale ad $1$
inoltre è positiva in $(0,1]$ ; quindi integrabilità e sommabilità coincidono in questo caso
l'integrale diverge se ,e solo se,in $0$ ,$x^(alpha-1)$ è un infinito di ordine maggiore o uguale ad $1$
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