Integrazione impropria

[fluspiral]

Salve a tutti e buon anno ,
a breve ho l'esame scritto di Analisi I e quello che segue è un esercizio che il mio prof ha assegnato un po di tempo fa, ho provato a svolgerlo e volevo sapere se l'ho svolto correttamente:

Studiare l'integrabilità in $[0,1]$ della funzione al variare di $k$>0:
$f(x)= (x- k )/(x^k (x-1)^(2k)$
ho provato a fare:
$lim_(x->0^+) f(x)= 0/0$

$lim_(x->0^+) f(x)~ -k/x^k$

per $k>0$ non è mai integrabile impropriamente

$lim_(x->1^-) f(x)= 1/(1(0^-))=1/(0^-)=-infty$
adesso ho un dubbio, mi fermo perchè il limite deve essere infinitesimo per essere integrabile impropriamente o posso continuare?
In fin dei conti anche se fosse integrabile in$1^(-)$, posso concludere che nell intervallo $[0,1]$ dato che in $0$ non è integrabile non è integrabile in tutto l'intervallo, giusto?

[ciampax]

Che stai a dì? La funzione, per $k>0$ non è mai definita né in $0$ né in $1$, per cui la funzione presenta problemi in entrambi i punti. Poi a che ti serve calcolare i limiti (che tra l'altro sono sbagliati?) Quello che devi vedere è quale sia il comportamento asintotico della funzione per $x\to 0$ e per $x\to 1$.

[fluspiral]

Scusami mi sono espresso male, intedevo in $0^(+)$ e in $1^(-)$. Scusami ma il troppo studio mi sta mandando in fumo il cervello, la funzione quando $x->1$ devo mettere in evidenza l'ordine di infinito maggiore (visto che la funzione è infinità in 1 da sinistra, non avevo considerato il quadrato)? oppure è sbagliato questo ragionamento? :

$lim_(x->1)x(1-k/x)/(x^k(x-1)^(2k))= x(1-k/x)/(x^(k+2k)(1-1/x) ^(2k)$ è asintotica a $x/(x^(k+2k)$ cioè $1/(x^(k+2k-1))$?

quando invece $x->0$ come posso comportarmi ?