Integrazione funzioni irrazionali
Scusate ragazzi avrei bisogno di capire, anche attraverso qualche esempio, come procedere per trovare una primitiva di una funzione irrazionale!
Davvero queste mi mettono in crisi!
Comincio con questa
$int sqrt(5 + 20x^2) dx$
Devo effettuare di sicuro qualche sostituzione! Avevo pensato qualche trigonometrica ma non mi viene in mente nulla!
Grazie a chi mi aiuterà!
Davvero queste mi mettono in crisi!
Comincio con questa
$int sqrt(5 + 20x^2) dx$
Devo effettuare di sicuro qualche sostituzione! Avevo pensato qualche trigonometrica ma non mi viene in mente nulla!
Grazie a chi mi aiuterà!
Risposte
Qui non sono le funzioni trigonometriche che ti aiutano ma quelle iperboliche, se metti infatti: $x=1/2sinh t$ ottieni che:
$dx = 1/2 cosh tdt$
e poi:
$int sqrt(5+20*1/4 sinh^2 t)*1/2 cosh tdt = sqrt(5)/2*int cosh^2 t dt = sqrt(5)/2*int (e^t+e^(-t))^2/4 dt = sqrt(5)/2*int [e^(2t)/4+e^(-2t)/4 + 1/2]dt$
e da qui la soluzione discende ovvia.
$dx = 1/2 cosh tdt$
e poi:
$int sqrt(5+20*1/4 sinh^2 t)*1/2 cosh tdt = sqrt(5)/2*int cosh^2 t dt = sqrt(5)/2*int (e^t+e^(-t))^2/4 dt = sqrt(5)/2*int [e^(2t)/4+e^(-2t)/4 + 1/2]dt$
e da qui la soluzione discende ovvia.
Dimenticavo... uso una identità molto utile che è:
$cosh^2 t - sinh^2 t =1$
$cosh^2 t - sinh^2 t =1$
Io ho provato allora a svolgere questa ancora più semplice adesso!
$int sqrt(1 + x^2)$
ricordando prima di tutto che $coshx - sinhx = 1$ e $coshx = (e^x + e^(-x))/2$
dunque procedo alla sostituzione $x = sinht$ e quindi $dx = cosht$
andando a sostituire $int sqrt(1 + sinh^2t)cosht dt$
quindi all'interno della radice abbiamo un $cosh^2t$ e dunque alla fine ci rimane $int cosh^2tdt$
sostituisco $1/4 int (e^t - e^(-t))^2$ svolgo tutti i passaggi e mi ritrovo con $1/4 [int e^(2t) dt + int e^(-2t) dt - 2int dt]$
risultato finale $1/4 [1/2e^(2t) - 1/2 e^(-2t) - 2t]$
spero di non aver fatto errori, ma comunque vorrei capire il perchè di questo risultato! Scusate la domanda se è una banalità!
http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... rt(1+%2B+x^2)&random=false
edit
il link non si copia bene per andarci bisogna ricopiarlo per intero e incollarlo
$int sqrt(1 + x^2)$
ricordando prima di tutto che $coshx - sinhx = 1$ e $coshx = (e^x + e^(-x))/2$
dunque procedo alla sostituzione $x = sinht$ e quindi $dx = cosht$
andando a sostituire $int sqrt(1 + sinh^2t)cosht dt$
quindi all'interno della radice abbiamo un $cosh^2t$ e dunque alla fine ci rimane $int cosh^2tdt$
sostituisco $1/4 int (e^t - e^(-t))^2$ svolgo tutti i passaggi e mi ritrovo con $1/4 [int e^(2t) dt + int e^(-2t) dt - 2int dt]$
risultato finale $1/4 [1/2e^(2t) - 1/2 e^(-2t) - 2t]$
spero di non aver fatto errori, ma comunque vorrei capire il perchè di questo risultato! Scusate la domanda se è una banalità!
http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... rt(1+%2B+x^2)&random=false
edit
il link non si copia bene per andarci bisogna ricopiarlo per intero e incollarlo
"clockover":
Io ho provato allora a svolgere questa ancora più semplice adesso!
$int sqrt(1 + x^2)$
ricordando prima di tutto che $coshx - sinhx = 1$ e $coshx = (e^x + e^(-x))/2$
Qui mancano i quadrati, ma suppongo sia una svista
dunque procedo alla sostituzione $x = sinht$ e quindi $dx = cosht$
andando a sostituire $int sqrt(1 + sinh^2t)cosht dt$
quindi all'interno della radice abbiamo un $cosh^2t$ e dunque alla fine ci rimane $int cosh^2tdt$
sostituisco $1/4 int (e^t - e^(-t))^2$ svolgo tutti i passaggi e mi ritrovo con $1/4 [int e^(2t) dt + int e^(-2t) dt + 2int dt]$
risultato finale $1/4 [1/2e^(2t) - 1/2 e^(-2t) + 2t]$
spero di non aver fatto errori, ma comunque vorrei capire il perchè di questo risultato! Scusate la domanda se è una banalità!
http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... rt(1+%2B+x^2)&random=false
edit
il link non si copia bene per andarci bisogna ricopiarlo per intero e incollarlo
A te manca la sosituzione finale! Ovvero mettendo $t=arcsinh x$
Hai:
$[...]=1/4*sinh2t + 1/2t = 1/2 arcsinh x + 1/4*sinh2*(arcsinhx)$
qui segui il fatto che:
$sinh(x+y)=sinhxcoshy + coshxsinhy$
$sinh2x=2sinhxcoshx$
Ovvero:
$sinh2*(arcsinhx) = 2x*sqrt(1+x^2)$
e quindi:
$[...]=1/2 arcsinh x + 1/2*x*sqrt(1+x^2)$
Chiaro?
Ho provato a fare l'esercizio che ho proposto all'inizio e mi viene
$sqrt5/8 [1/2 e^(2x) - 1/2 e^(-2x) - 2x]$
dunque se io avessi $int sqrt(20x^2 - 5)$ potrei sostiruire $x = 1/4cosht$ dato che $dx = 1/4 sinht dt$ e $sinht = cosht - 1$
edit
visto solo ora la tua risposta
ma il $coshx = (e^x - e^(2x))/2$ spero di non sbagliare in questo!
Non ho messo i quadrati perchè ancora non l'avevo inserito nell'integrale!
Comunque grazie per la soluzione mi ero dimenticato di sostituire la $t$
doppio edit
ho capito dove intendevi per i quadrati.... $cosh^2x - sinh^2x = 1$
scusate
$sqrt5/8 [1/2 e^(2x) - 1/2 e^(-2x) - 2x]$
dunque se io avessi $int sqrt(20x^2 - 5)$ potrei sostiruire $x = 1/4cosht$ dato che $dx = 1/4 sinht dt$ e $sinht = cosht - 1$
edit
visto solo ora la tua risposta
ma il $coshx = (e^x - e^(2x))/2$ spero di non sbagliare in questo!
Non ho messo i quadrati perchè ancora non l'avevo inserito nell'integrale!
Comunque grazie per la soluzione mi ero dimenticato di sostituire la $t$
doppio edit
ho capito dove intendevi per i quadrati.... $cosh^2x - sinh^2x = 1$
scusate
"clockover":
Io ho provato allora a svolgere questa ancora più semplice adesso!
$int sqrt(1 + x^2)$
$sqrt(1+x^2)=t-x to 1+x^2=t^2-2tx+x^2 to x=(t^2-1)/(2t) to dx=(t^2+1)/(2t^2)$
sostituendo:
$sqrt(1+x^2)=(t^2+1)/(2t)$
pertanto l'integrale diventa:
$1/4int(t^2+1)^2/t^3$
che è abbastanza immediato
ricorda alla fine che $t=sqrt(1+x^2)+x
Purtroppo ho ancora bisogno del vostro aiuto!
Ho questo integrale $int_{2/3}^{1} x/sqrt(2 - 3x) dx$
avevo pensato a questa sostituzione
$x = 2/3 cos^2t$ e quindi $dx = -4/3 cost*sint$
sostituendo nell'integrale originale avrei $-4/(3*sqrt2) int (sint*cost)/sqrt(1 - cos^2t) dt$ e facendo delle semplificazioni $-4/(3*sqrt2) int cost/sint dt$
ora mi trovo con alcune difficoltà!
1) estremi di integrazione
2) potrei andare avanti con delle sostituzioni del tipo $sint = z$ e quindi $dz = costdt$ così avrei $int 1/z dz$?? Ma comunque mi ritroverei il problema degli estremi di integrazione!
Aspetto qualche dritta.. grazie
Ho questo integrale $int_{2/3}^{1} x/sqrt(2 - 3x) dx$
avevo pensato a questa sostituzione
$x = 2/3 cos^2t$ e quindi $dx = -4/3 cost*sint$
sostituendo nell'integrale originale avrei $-4/(3*sqrt2) int (sint*cost)/sqrt(1 - cos^2t) dt$ e facendo delle semplificazioni $-4/(3*sqrt2) int cost/sint dt$
ora mi trovo con alcune difficoltà!
1) estremi di integrazione
2) potrei andare avanti con delle sostituzioni del tipo $sint = z$ e quindi $dz = costdt$ così avrei $int 1/z dz$?? Ma comunque mi ritroverei il problema degli estremi di integrazione!
Aspetto qualche dritta.. grazie
1) Gli estremi siccome hai scelto:
$x=2/3 cos^2t$
e $x in [2/3,1]$ allora $t in [0, arccos(sqrt(3)/2)]=[0,pi/6]$
2) Arrivato a:
$-2/3sqrt(2) int_0^(pi/6) cost/sint dt = -2/3sqrt(2) int_0^(pi/6) 1/sint d(sint) = -2/3sqrt(2)*[ln(|sint|)]_0^(pi/6)$
$x=2/3 cos^2t$
e $x in [2/3,1]$ allora $t in [0, arccos(sqrt(3)/2)]=[0,pi/6]$
2) Arrivato a:
$-2/3sqrt(2) int_0^(pi/6) cost/sint dt = -2/3sqrt(2) int_0^(pi/6) 1/sint d(sint) = -2/3sqrt(2)*[ln(|sint|)]_0^(pi/6)$
"clockover":
Purtroppo ho ancora bisogno del vostro aiuto!
Ho questo integrale $int_{2/3}^{1} x/sqrt(2 - 3x) dx$
avevo pensato a questa sostituzione
$x = 2/3 cos^2t$ e quindi $dx = -4/3 cost*sint$
sostituendo nell'integrale originale avrei $-4/(3*sqrt2) int (sint*cost)/sqrt(1 - cos^2t) dt$ e facendo delle semplificazioni $-4/(3*sqrt2) int cost/sint dt$
Scusami clockover, ma facendo la semplificazione, non si dovrebbe ottenere solo $-4/(3*sqrt2) int costdt$? La radice al denominatore sarà $sqrt(1 - cos^2t) = sint$, quindi potrai semplificare $sint$ al numeratore e quindi avere solo l'integrale $-4/(3*sqrt2) int costdt$. Alla fine si risolverà tutto in $-4/(3*sqrt2)sint$.
Per me un pochetto si è confuso con le sostituzioni 
infatti:
$int_(2/3)^1 x/sqrt(2-3x) dx$
con
$x=2/3cos^2t Rightarrow dx=4/3cost*sint*dt$
diventa:
$int_0^(pi/6) 2/3(cos^2t)/(sqrt(2-3*2/3cos^2t )) *4/3cost*sint*dt = 8/9*1/sqrt(2)*int_0^(pi/6) cos^3t dt = 8/9*1/sqrt(2)*int_0^(pi/6) (1-sin^2t)d(sint) =$
$=8/9*1/sqrt(2)*[sint - 1/3*sin^3t]_0^(pi/6)=8/9*1/sqrt(2)*(1/2-1/3*1/8) = 22/27*sqrt(2)$
Controllate gente, controllate
infatti:$int_(2/3)^1 x/sqrt(2-3x) dx$
con
$x=2/3cos^2t Rightarrow dx=4/3cost*sint*dt$
diventa:
$int_0^(pi/6) 2/3(cos^2t)/(sqrt(2-3*2/3cos^2t )) *4/3cost*sint*dt = 8/9*1/sqrt(2)*int_0^(pi/6) cos^3t dt = 8/9*1/sqrt(2)*int_0^(pi/6) (1-sin^2t)d(sint) =$
$=8/9*1/sqrt(2)*[sint - 1/3*sin^3t]_0^(pi/6)=8/9*1/sqrt(2)*(1/2-1/3*1/8) = 22/27*sqrt(2)$
Controllate gente, controllate
Allora mi sono scemito si porca miseria!!
Grazie ragazzi lo rifaccio di nuovo con più attenzione e se ho ancora problemi vi stresso di nuovo!
Grazie ragazzi lo rifaccio di nuovo con più attenzione e se ho ancora problemi vi stresso di nuovo!
"clockover":
Allora mi sono scemito si porca miseria!!
Grazie ragazzi lo rifaccio di nuovo con più attenzione e se ho ancora problemi vi stresso di nuovo!
Non preoccuparti clockover!
"Lord K":
Per me un pochetto si è confuso con le sostituzioni
$int_(2/3)^1 x/sqrt(2-3x) dx$
con
$x=2/3cos^2t Rightarrow dx=4/3cost*sint*dt$
diventa:
$int_0^(pi/6) 2/3(cos^2t)/(sqrt(2-3*2/3cos^2t )) *4/3cost*sint*dt = 8/9*1/sqrt(2)*int_0^(pi/6) cos^3t dt = 8/9*1/sqrt(2)*int_0^(pi/6) (1-sin^2t)d(sint) =$
$=8/9*1/sqrt(2)*[sint - 1/3*sin^3t]_0^(pi/6)=8/9*1/sqrt(2)*(1/2-1/3*1/8) = 22/27*sqrt(2)$
Controllate gente, controllate
Lord K, mi sembra ci sia un errore nel penultimo passaggio, ovvero $8/9*1/sqrt(2)*int_0^(pi/6) cos^3t dt = 8/9*1/sqrt(2)*int_0^(pi/6) (1-sin^2t)d(sint)$.
Infatti dovrebbe essere $8/9*1/sqrt(2)*int_0^(pi/6) (1-sin^2t)*(cost)*dt$.
Ma così è! Il punto è che $d(sint) = cost*dt$
Perfetto! Non sapevo si potesse fare questo passaggio. Credevo il tuo fosse un errore di scrittura. Scusami.
Se ci pensi è come quando operi una sostituzione in realtà!
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