Integrazione e integrabilità
ragazzi, perdonatemi ma ho difficoltà nella risoluzione di due esercizi:
il primo mi chiede di trovare la primitiva in [pi/2,3pi/2] di
$1/(2cosx-1)$
mentre l'altro i chiede di verificare l'integrabilità in [0,+oo[di
$log(sqrtx+1)/(x+2)$ e $sin(sqrt(x+1))/(x+1)$
quest'ultim esercizio non so risolverlo. non riesco ad uscirne viv dal discorso su integrabilità. per il primo pensavo di procedere per parti ma non sono sicuro circa la scelta del procedimento. per il primo accetto consigli per poi procedere da solo. per il secondo chiedo una spiegazione perchè vorrei davvero riscire a risolvere tutti gli esercizi che richiedano questa consegna.
scusatemi,
alex
il primo mi chiede di trovare la primitiva in [pi/2,3pi/2] di
$1/(2cosx-1)$
mentre l'altro i chiede di verificare l'integrabilità in [0,+oo[di
$log(sqrtx+1)/(x+2)$ e $sin(sqrt(x+1))/(x+1)$
quest'ultim esercizio non so risolverlo. non riesco ad uscirne viv dal discorso su integrabilità. per il primo pensavo di procedere per parti ma non sono sicuro circa la scelta del procedimento. per il primo accetto consigli per poi procedere da solo. per il secondo chiedo una spiegazione perchè vorrei davvero riscire a risolvere tutti gli esercizi che richiedano questa consegna.
scusatemi,
alex
Risposte
Per quanto riguarda il primo ponendo $t=tan(x/2)$ dovrebee diventare l'integrale di una funzione razionale più facile da risolvere.
"Feliciano":ok...grazie feliciano. proverò subito. waiting for the last question...
Per quanto riguarda il primo ponendo $t=tan(x/2)$ dovrebee diventare l'integrale di una funzione razionale più facile da risolvere.
alex
Per quanto riguarda l'integrabilità di
$sen (sqrt (x+1))/(x+1)$ dobbiamo vedere se l'integrale: $int_0^(+oo)sen (sqrt(x+1))/(x+1) dx$ converge.
Facciamo il seguente cambio di variabile $sqrt(x+1)=t =>dx=2dt$, quindi:
$int_1^(+oo) 2 (sen t)/t dt$
eseguendo l'integrazione per parti otteniamo ( tralascio la costante 2 perchè ininfluente per quanto riguarda la convergenza):
$-cos t/t|_1^(+oo)-int_1^(+oo) cost/t^2 dt$ la seconda parte dell'integrale è convergente visto che l'integranda è asintottica a $1/t^2$ che è integrabile.
$sen (sqrt (x+1))/(x+1)$ dobbiamo vedere se l'integrale: $int_0^(+oo)sen (sqrt(x+1))/(x+1) dx$ converge.
Facciamo il seguente cambio di variabile $sqrt(x+1)=t =>dx=2dt$, quindi:
$int_1^(+oo) 2 (sen t)/t dt$
eseguendo l'integrazione per parti otteniamo ( tralascio la costante 2 perchè ininfluente per quanto riguarda la convergenza):
$-cos t/t|_1^(+oo)-int_1^(+oo) cost/t^2 dt$ la seconda parte dell'integrale è convergente visto che l'integranda è asintottica a $1/t^2$ che è integrabile.
viste le tue richieste e le altre risposte (l'ultima che ho qui davanti a me è delle ore 8:47), ti scrivo l'analisi iniziale sulla funzione logaritmica:
è definita per $x in [0, +oo)$, e nello stesso intervallo ti si chiede di studiarne l'integrabilità. f(0)=0, limite (di f(x)) per x->+oo è zero.
notare che qui si parte da un punto 0 in cui la funzione è ben definita, quindi non sorge il problema nell'intorno destro di zero. se fosse stato richiesto di verificare l'integrabilità ad esempio in (0, +oo), con il primo estremo escluso, bisognava trovare il limite per x->0+ e se questo limite fosse stato infinito avresti dovuto considerare anche l'altra singolarità nell'intorno dello zero, e forse sarebbe convenuto spezzare l'intervallo in due parti (come in qualche esempio suggerito da rubik tempo fa).
in questo caso ti devi preoccupare solo dell'intorno (sinistro) di +infinito. però anche qui va notato che se avessi ottenuto un limite della funzione diverso da zero, avresti già finito: in tal caso la funzione non sarebbe stata integrabile.
qui puoi procedere in due modi (puoi provarli entrambi, te lo consiglio):
1) trovare una opportuna funzione integrabile e confrontarla con la tua, cioè:
$g(x)=x^(alpha), " con " alpha < -1$, tale che $lim_(x->+oo)\f(x)/g(x)=0$
se ci riesci, avrai provato l'integrabilità della f
2) trovare una primitiva F della f, cioè eseguire direttamente l'integrazione, e verificare che $([lim_(x->+oo)\F(x)]-[F(0)])$ è un numero finito.
ciao.
è definita per $x in [0, +oo)$, e nello stesso intervallo ti si chiede di studiarne l'integrabilità. f(0)=0, limite (di f(x)) per x->+oo è zero.
notare che qui si parte da un punto 0 in cui la funzione è ben definita, quindi non sorge il problema nell'intorno destro di zero. se fosse stato richiesto di verificare l'integrabilità ad esempio in (0, +oo), con il primo estremo escluso, bisognava trovare il limite per x->0+ e se questo limite fosse stato infinito avresti dovuto considerare anche l'altra singolarità nell'intorno dello zero, e forse sarebbe convenuto spezzare l'intervallo in due parti (come in qualche esempio suggerito da rubik tempo fa).
in questo caso ti devi preoccupare solo dell'intorno (sinistro) di +infinito. però anche qui va notato che se avessi ottenuto un limite della funzione diverso da zero, avresti già finito: in tal caso la funzione non sarebbe stata integrabile.
qui puoi procedere in due modi (puoi provarli entrambi, te lo consiglio):
1) trovare una opportuna funzione integrabile e confrontarla con la tua, cioè:
$g(x)=x^(alpha), " con " alpha < -1$, tale che $lim_(x->+oo)\f(x)/g(x)=0$
se ci riesci, avrai provato l'integrabilità della f
2) trovare una primitiva F della f, cioè eseguire direttamente l'integrazione, e verificare che $([lim_(x->+oo)\F(x)]-[F(0)])$ è un numero finito.
ciao.
Riguardo al primo esercizio: sicuro che ti si chieda di trovare una primitiva e non l'integrale definito tra $pi/2$ e $3/2 pi$?
In questo secondo caso puoi ricondurti a $int_(pi/2)^(3/2 pi) 1/(2*cosx-1)dx=int_0^(pi)1/(-2*sinx-1)dx$ e poi ricorrere all'analisi complessa, con la sostituzione $dx=(dz)/(iz)$ e $sinx=1/(2i)(z-1/z)$. Il percorso su cui integrare è $Gamma$, ovvero la semicirconferenza positiva $C$ di centro l'origine e raggio 1 + il tratto di asse reale da -1 a 1; l'integrale di interesse è quello lungo il primo tratto, che si ottiene così: $oint_Gamma=int_(C)+int_(-1)^1 to int_(C)=oint_Gamma-int_(-1)^1$. L'integrale di linea è noiosetto da calcolare perchè le singolarità della funzione in $z$ che si ottiene si trovano proprio su $C$, ma non dovrebbe essere difficile trovare che si annulla. Perciò $int_(pi/2)^(3/2 pi) 1/(2*cosx-1)dx=int_(-1)^1 (z^2-i*z-1)/(z^4-z^2+1) dz =(2*sqrt3*ln(2-sqrt3))/3$.
In questo secondo caso puoi ricondurti a $int_(pi/2)^(3/2 pi) 1/(2*cosx-1)dx=int_0^(pi)1/(-2*sinx-1)dx$ e poi ricorrere all'analisi complessa, con la sostituzione $dx=(dz)/(iz)$ e $sinx=1/(2i)(z-1/z)$. Il percorso su cui integrare è $Gamma$, ovvero la semicirconferenza positiva $C$ di centro l'origine e raggio 1 + il tratto di asse reale da -1 a 1; l'integrale di interesse è quello lungo il primo tratto, che si ottiene così: $oint_Gamma=int_(C)+int_(-1)^1 to int_(C)=oint_Gamma-int_(-1)^1$. L'integrale di linea è noiosetto da calcolare perchè le singolarità della funzione in $z$ che si ottiene si trovano proprio su $C$, ma non dovrebbe essere difficile trovare che si annulla. Perciò $int_(pi/2)^(3/2 pi) 1/(2*cosx-1)dx=int_(-1)^1 (z^2-i*z-1)/(z^4-z^2+1) dz =(2*sqrt3*ln(2-sqrt3))/3$.
"elgiovo":
Riguardo al primo esercizio: sicuro che ti si chieda di trovare una primitiva e non l'integrale definito tra $pi/2$ e $3/2 pi$?
In questo secondo caso puoi ricondurti a $int_(pi/2)^(3/2 pi) 1/(2*cosx-1)dx=int_0^(pi)1/(-2*sinx-1)dx$ e poi ricorrere all'analisi complessa, con la sostituzione $dx=(dz)/(iz)$ e $sinx=1/(2i)(z-1/z)$. Il percorso su cui integrare è $Gamma$, ovvero la semicirconferenza positiva $C$ di centro l'origine e raggio 1 + il tratto di asse reale da -1 a 1; l'integrale di interesse è quello lungo il primo tratto, che si ottiene così: $oint_Gamma=int_(C)+int_(-1)^1 to int_(C)=oint_Gamma-int_(-1)^1$. L'integrale di linea è noiosetto da calcolare perchè le singolarità della funzione in $z$ che si ottiene si trovano proprio su $C$, ma non dovrebbe essere difficile trovare che si annulla. Perciò $int_(pi/2)^(3/2 pi) 1/(2*cosx-1)dx=int_(-1)^1 (z^2-i*z-1)/(z^4-z^2+1) dz =(2*sqrt3*ln(2-sqrt3))/3$.
ti ringrazio ma ancora mi è incomprensibile. non hanno spiegato risoluzione dell'integrale mediante analisi complessa.
per ada: entrambi i metodi sono perfettamente validi e utili. soltanto che non riesco a determinarne l'esponente a ...
"clrscr":
Per quanto riguarda l'integrabilità di
$sen (sqrt (x+1))/(x+1)$ dobbiamo vedere se l'integrale: $int_0^(+oo)sen (sqrt(x+1))/(x+1) dx$ converge.
Facciamo il seguente cambio di variabile $sqrt(x+1)=t =>dx=2dt$, quindi:
$int_1^(+oo) 2 (sen t)/t dt$
eseguendo l'integrazione per parti otteniamo ( tralascio la costante 2 perchè ininfluente per quanto riguarda la convergenza):
$-cos t/t|_1^(+oo)-int_1^(+oo) cost/t^2 dt$ la seconda parte dell'integrale è convergente visto che l'integranda è asintottica a $1/t^2$ che è integrabile.
piuttosto chiara la tua spiegazione. grazie clrscr
... infatti sembrerebbe non integrabile: 1/(x+2) non lo è, a maggior ragione non può esserlo la tua funzione...
tu non hai il risultato dell'esercizio, vero?
proviamo ad avere conferme anche dall'altro metodo...
fammi sapere. ciao.
tu non hai il risultato dell'esercizio, vero?
proviamo ad avere conferme anche dall'altro metodo...
fammi sapere. ciao.
"adaBTTLS":
... infatti sembrerebbe non integrabile: 1/(x+2) non lo è, a maggior ragione non può esserlo la tua funzione...
tu non hai il risultato dell'esercizio, vero?
proviamo ad avere conferme anche dall'altro metodo...
fammi sapere. ciao.
non ho le soluzioni, mi spiace. forse una fortuna perchè così devo chiedere spiegazioni sul procedimento e non inventarmi procedimenti errati e fantasiosi per arrivare obbligatoriamente alla soluzione corretta. pertanto...proviamo a calcolarci l'integrale per verificare integrabilità??
spero di procedere in maniera corretta per il calcolo dell'integrale. sono fermo ad un punto:
$int(log(sqrtx+1)/(x-2))dx= (log(t+1)/(t^2+2))2tdt$ ho fatto cambio variabile. da qui volevo procedere per parti ma a dire il vero non so come venirne
"bad.alex":
[quote="adaBTTLS"]... infatti sembrerebbe non integrabile: 1/(x+2) non lo è, a maggior ragione non può esserlo la tua funzione...
tu non hai il risultato dell'esercizio, vero?
proviamo ad avere conferme anche dall'altro metodo...
fammi sapere. ciao.
non ho le soluzioni, mi spiace. forse una fortuna perchè così devo chiedere spiegazioni sul procedimento e non inventarmi procedimenti errati e fantasiosi per arrivare obbligatoriamente alla soluzione corretta. pertanto...proviamo a calcolarci l'integrale per verificare integrabilità??
spero di procedere in maniera corretta per il calcolo dell'integrale. sono fermo ad un punto:
$int(log(sqrtx+1)/(x-2))dx= (log(t+1)/(t^2+2))2tdt$ ho fatto cambio variabile. da qui volevo procedere per parti ma a dire il vero non so come venirne[/quote]
vediamo se scindo dagli orari per dirle grosse:
allora, per trovare l'esponente p al fine di verificare l'integrabilità in [0+oo[ ho dapprima verificato che in tale intervallo la funzione è continua. subito dopo, dato che questa non presenta punti di discontinuità ho calcolato il $lim_(x to +oo)(1/(x-2)/x^p)=+oo$ pertanto non dovrebbe essere integrabile la funzione in detto intervallo. non sno riuscito a calcolare l'integrale non nego. non so nemmeno perchè io abbia svolto il limite per x-> +oo....mmm
i'm sending an Sos.
con l'integrazione dell'intera funzione nemmeno io sono venuta a capo di nulla. le due strade sono:
limite di tutta la funzione fratto (x^(-1)) cioè devi prendere p=-1, e non serve per il limite eliminare il logaritmo... ti dovrebbe venire infinito
oppure, osservando che il numeratore è sempre positivo e tende a infinito, fai l'integrale senza il numeratore e ti verrà illimitato:
$int\(dx)/(x+2)=log|x+2|+C$
$int_0^(+oo)\(dx)/(x+2)=[lim_(x->+oo)\log(x+2)]-[log(2)]=+oo$
se qualcun altro vuole intervenire, si accettano suggerimenti. ciao.
limite di tutta la funzione fratto (x^(-1)) cioè devi prendere p=-1, e non serve per il limite eliminare il logaritmo... ti dovrebbe venire infinito
oppure, osservando che il numeratore è sempre positivo e tende a infinito, fai l'integrale senza il numeratore e ti verrà illimitato:
$int\(dx)/(x+2)=log|x+2|+C$
$int_0^(+oo)\(dx)/(x+2)=[lim_(x->+oo)\log(x+2)]-[log(2)]=+oo$
se qualcun altro vuole intervenire, si accettano suggerimenti. ciao.
grazie ada, grazie a coloro i quali mi hanno aiutato a svolgerli, grazie a coloro i quali decideranno di intervenire.
semplicemente grazie, alex
semplicemente grazie, alex
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo